Интеграл sin(2*x)*cos(5*x) (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(2*x)*cos(5*x) dx
 |                      
/                       
0                       

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{16 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $4 \cos^{5}{\left(x \right)}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Результат есть: $- \frac{16 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 4 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $8 \cos^{5}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Результат есть: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  2    2*cos(2)*cos(5)   5*sin(2)*sin(5)
- -- + --------------- + ---------------
  21          21                21      

$$\frac{5 \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{21} - \frac{2}{21} + \frac{2 \cos{\left(2 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{21}$$

=

=

  2    2*cos(2)*cos(5)   5*sin(2)*sin(5)
- -- + --------------- + ---------------
  21          21                21      

$$\frac{5 \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{21} - \frac{2}{21} + \frac{2 \cos{\left(2 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{21}$$

Численный ответ

-0.314087005696025

Ответ (Неопределённый)

  /                                             7            3   
 |                                 5      32*cos (x)   10*cos (x)
 | sin(2*x)*cos(5*x) dx = C + 8*cos (x) - ---------- - ----------
 |                                            7            3     
/                                                                

$$\int \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$$

График