Интеграл (x^2+2*x+1)*sin(3*x) (dx)

Вы ввели

  1                           
  /                           
 |                            
 |  / 2          \            
 |  \x  + 2*x + 1/*sin(3*x) dx
 |                            
/                             
0                             

$$\int_{0}^{1} \left(x^{2} + 2 x + 1\right) \sin{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x \left(x + 2\right) + 1$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x + 2$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{3} \left(2 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{1}{3} \int \left(2 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(2 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )} = 2 x \cos{\left (3 x \right )} + 2 \cos{\left (3 x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 x \cos{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int x \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

               1. пусть $u = 3 x$.

                  Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = \frac{1}{3} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = 3 x$.

                  Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                        $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 x}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \cos{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 3 x$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

         Результат есть: $\frac{2 x}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \cos{\left (3 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x^{2} + 2 x + 1\right) \sin{\left (3 x \right )} = x^{2} \sin{\left (3 x \right )} + 2 x \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = - \frac{2 x}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{3}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{2}{9} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x \sin{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int x \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. пусть $u = 3 x$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                     $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{1}{3} \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 3 x$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 x}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )}$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{x^{2}}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{2 x}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{7}{27} \cos{\left (3 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{1}{3} \left(x \left(x + 2\right) + 1\right) \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{1}{3} \left(x \left(x + 2\right) + 1\right) \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                       
  /                                                       
 |                                                        
 |  / 2          \               7    34*cos(3)   4*sin(3)
 |  \x  + 2*x + 1/*sin(3*x) dx = -- - --------- + --------
 |                               27       27         9    
/                                                         
0                                                         

$${{12\,\sin 3-34\,\cos 3}\over{27}}+{{7}\over{27}}$$

Численный ответ

1.56863648078272

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                  
 |                                                                                                   
 | / 2          \                   2*sin(3*x)   2*cos(3*x)   (1 + x*(2 + x))*cos(3*x)   2*x*sin(3*x)
 | \x  + 2*x + 1/*sin(3*x) dx = C + ---------- + ---------- - ------------------------ + ------------
 |                                      9            27                  3                    9      
/                                                                                                    

$${{{{6\,x\,\sin \left(3\,x\right)+\left(2-9\,x^2\right)\,\cos \left( 3\,x\right)}\over{9}}+{{2\,\left(\sin \left(3\,x\right)-3\,x\,\cos \left(3\,x\right)\right)}\over{3}}-\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}$$