Интеграл (x^2+2*x+1)*sin(3*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                           
      /                           
     |                            
     |  / 2          \            
     |  \x  + 2*x + 1/*sin(3*x) dx
     |                            
    /                             
    0                             
    01(x2+2x+1)sin(3x)dx\int_{0}^{1} \left(x^{2} + 2 x + 1\right) \sin{\left (3 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=x(x+2)+1u{\left (x \right )} = x \left(x + 2\right) + 1 и пусть dv(x)=sin(3x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )} dx.

        Затем du(x)=2x+2\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x + 2 dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. пусть u=3xu = 3 x.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)du=13sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 13cos(u)- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          13cos(3x)- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        13(2x+2)cos(3x)dx=13(2x+2)cos(3x)dx\int - \frac{1}{3} \left(2 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{1}{3} \int \left(2 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          (2x+2)cos(3x)=2xcos(3x)+2cos(3x)\left(2 x + 2\right) \cos{\left (3 x \right )} = 2 x \cos{\left (3 x \right )} + 2 \cos{\left (3 x \right )}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2xcos(3x)dx=2xcos(3x)dx\int 2 x \cos{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int x \cos{\left (3 x \right )}\, dx

            1. Используем интегрирование по частям:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              пусть u(x)=xu{\left (x \right )} = x и пусть dv(x)=cos(3x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )} dx.

              Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

              Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

              1. пусть u=3xu = 3 x.

                Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

                cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)du=13cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                  Таким образом, результат будет: 13sin(u)\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                13sin(3x)\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              13sin(3x)dx=13sin(3x)dx\int \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = \frac{1}{3} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx

              1. пусть u=3xu = 3 x.

                Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

                sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  sin(u)du=13sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                    sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

                  Таким образом, результат будет: 13cos(u)- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                13cos(3x)- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}

              Таким образом, результат будет: 19cos(3x)- \frac{1}{9} \cos{\left (3 x \right )}

            Таким образом, результат будет: 2x3sin(3x)+29cos(3x)\frac{2 x}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \cos{\left (3 x \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2cos(3x)dx=2cos(3x)dx\int 2 \cos{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx

            1. пусть u=3xu = 3 x.

              Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

              cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)du=13cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                Таким образом, результат будет: 13sin(u)\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              13sin(3x)\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}

            Таким образом, результат будет: 23sin(3x)\frac{2}{3} \sin{\left (3 x \right )}

          Результат есть: 2x3sin(3x)+23sin(3x)+29cos(3x)\frac{2 x}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{3} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \cos{\left (3 x \right )}

        Таким образом, результат будет: 2x9sin(3x)29sin(3x)227cos(3x)- \frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x2+2x+1)sin(3x)=x2sin(3x)+2xsin(3x)+sin(3x)\left(x^{2} + 2 x + 1\right) \sin{\left (3 x \right )} = x^{2} \sin{\left (3 x \right )} + 2 x \sin{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=x2u{\left (x \right )} = x^{2} и пусть dv(x)=sin(3x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )} dx.

          Затем du(x)=2x\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x dx.

          Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)du=13sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 13cos(u)- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13cos(3x)- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=2x3u{\left (x \right )} = - \frac{2 x}{3} и пусть dv(x)=cos(3x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )} dx.

          Затем du(x)=23\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{3} dx.

          Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)du=13cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 13sin(u)\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13sin(3x)\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}

          Теперь решаем под-интеграл.

        3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          29sin(3x)dx=29sin(3x)dx\int - \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{2}{9} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)du=13sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 13cos(u)- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13cos(3x)- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 227cos(3x)\frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xsin(3x)dx=2xsin(3x)dx\int 2 x \sin{\left (3 x \right )}\, dx = 2 \int x \sin{\left (3 x \right )}\, dx

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(x)=xu{\left (x \right )} = x и пусть dv(x)=sin(3x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )} dx.

            Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

            Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

            1. пусть u=3xu = 3 x.

              Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

              sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                sin(u)du=13sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

                Таким образом, результат будет: 13cos(u)- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              13cos(3x)- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            13cos(3x)dx=13cos(3x)dx\int - \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{1}{3} \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx

            1. пусть u=3xu = 3 x.

              Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

              cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)du=13cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                Таким образом, результат будет: 13sin(u)\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              13sin(3x)\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}

            Таким образом, результат будет: 19sin(3x)- \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 2x3cos(3x)+29sin(3x)- \frac{2 x}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )}

        1. пусть u=3xu = 3 x.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)du=13sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 13cos(u)- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          13cos(3x)- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}

        Результат есть: x23cos(3x)+2x9sin(3x)2x3cos(3x)+29sin(3x)727cos(3x)- \frac{x^{2}}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{2 x}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{7}{27} \cos{\left (3 x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      2x9sin(3x)13(x(x+2)+1)cos(3x)+29sin(3x)+227cos(3x)+constant\frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{1}{3} \left(x \left(x + 2\right) + 1\right) \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2x9sin(3x)13(x(x+2)+1)cos(3x)+29sin(3x)+227cos(3x)+constant\frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{1}{3} \left(x \left(x + 2\right) + 1\right) \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-250250
    Ответ [src]
      1                                                       
      /                                                       
     |                                                        
     |  / 2          \               7    34*cos(3)   4*sin(3)
     |  \x  + 2*x + 1/*sin(3*x) dx = -- - --------- + --------
     |                               27       27         9    
    /                                                         
    0                                                         
    12sin334cos327+727{{12\,\sin 3-34\,\cos 3}\over{27}}+{{7}\over{27}}
    Численный ответ [src]
    1.56863648078272
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                  
     |                                                                                                   
     | / 2          \                   2*sin(3*x)   2*cos(3*x)   (1 + x*(2 + x))*cos(3*x)   2*x*sin(3*x)
     | \x  + 2*x + 1/*sin(3*x) dx = C + ---------- + ---------- - ------------------------ + ------------
     |                                      9            27                  3                    9      
    /                                                                                                    
    6xsin(3x)+(29x2)cos(3x)9+2(sin(3x)3xcos(3x))3cos(3x)3{{{{6\,x\,\sin \left(3\,x\right)+\left(2-9\,x^2\right)\,\cos \left( 3\,x\right)}\over{9}}+{{2\,\left(\sin \left(3\,x\right)-3\,x\,\cos \left(3\,x\right)\right)}\over{3}}-\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}