Интеграл (cos(t))^2-(sin(t))^2 (dx)

Вы ввели

  1                       
  /                       
 |                        
 |  /   2         2   \   
 |  \cos (t) - sin (t)/ dt
 |                        
/                         
0                         

$$\int\limits_{0}^{1} \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

            1. пусть $u = 2 t$.

               Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

         1. пусть $u = 2 t$.

            Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

      Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

   Результат есть: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

cos(1)*sin(1)

$$\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$$

=

=

cos(1)*sin(1)

$$\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.454648713412841

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 | /   2         2   \          sin(2*t)
 | \cos (t) - sin (t)/ dt = C + --------
 |                                 2    
/                                       

$$\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = C + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$$

График