Интеграл (cos(t))^2-(sin(t))^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |  /   2         2   \   
     |  \cos (t) - sin (t)/ dt
     |                        
    /                         
    0                         
    01(sin2(t)+cos2(t))dt\int\limits_{0}^{1} \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt
    Подробное решение
    1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (sin2(t))dt=sin2(t)dt\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          sin2(t)=12cos(2t)2\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (cos(2t)2)dt=cos(2t)dt2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

            1. пусть u=2tu = 2 t.

              Тогда пусть du=2dtdu = 2 dt и подставим du2\frac{du}{2}:

              cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

            Таким образом, результат будет: sin(2t)4- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

          Результат есть: t2sin(2t)4\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        Таким образом, результат будет: t2+sin(2t)4- \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos2(t)=cos(2t)2+12\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos(2t)2dt=cos(2t)dt2\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

          1. пусть u=2tu = 2 t.

            Тогда пусть du=2dtdu = 2 dt и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin(2t)4\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          12dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

        Результат есть: t2+sin(2t)4\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

      Результат есть: sin(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      sin(2t)2+constant\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    sin(2t)2+constant\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
    Ответ [src]
    cos(1)*sin(1)
    sin(1)cos(1)\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}
    =
    =
    cos(1)*sin(1)
    sin(1)cos(1)\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}
    Численный ответ [src]
    0.454648713412841
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                     
     |                                      
     | /   2         2   \          sin(2*t)
     | \cos (t) - sin (t)/ dt = C + --------
     |                                 2    
    /                                       
    (sin2(t)+cos2(t))dt=C+sin(2t)2\int \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = C + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}
    График
    Интеграл (cos(t))^2-(sin(t))^2 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/9/d2/955985364f4dddad39e4c84f33c34.png