Интеграл (cos(t))^2-(sin(t))^2 (dx)

Вы ввели

  1                       
  /                       
 |                        
 |  /   2         2   \   
 |  \cos (t) - sin (t)/ dt
 |                        
/                         
0                         

$$\int_{0}^{1} - \sin^{2}{\left (t \right )} + \cos^{2}{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin^{2}{\left (t \right )}\, dt = - \int \sin^{2}{\left (t \right )}\, dt$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{2}{\left (t \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )}\, dt = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 t \right )}\, dt$

            1. пусть $u = 2 t$.

               Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

         Результат есть: $\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (t \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )}\, dt = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 t \right )}\, dt$

         1. пусть $u = 2 t$.

            Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

      Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |  /   2         2   \                   
 |  \cos (t) - sin (t)/ dt = cos(1)*sin(1)
 |                                        
/                                         
0                                         

$${{\sin 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.454648713412841

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 | /   2         2   \          sin(2*t)
 | \cos (t) - sin (t)/ dt = C + --------
 |                                 2    
/                                       

$${{{{\sin \left(2\,t\right)}\over{2}}+t}\over{2}}-{{t-{{\sin \left(2 \,t\right)}\over{2}}}\over{2}}$$

Упростить