Интеграл (x^2+5*x+9)/(x-2)^3 (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x  + 5*x + 9   
 |  ------------ dx
 |           3     
 |    (x - 2)      
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 5 x + 9}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 5 x + 9}{\left(x - 2\right)^{3}} = \frac{1}{x - 2} + \frac{9}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{23}{\left(x - 2\right)^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{9}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx = 9 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x - 2}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}$

               None

         Таким образом, результат будет: $- \frac{9}{x - 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{23}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx = 23 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{23}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} - \frac{9}{x - 2} - \frac{23}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 5 x + 9}{\left(x - 2\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} + \frac{5 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} + \frac{9}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} = \frac{1}{x - 2} + \frac{4}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x - 2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{x - 2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

         Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} - \frac{4}{x - 2} - \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}\, dx = 5 \int \frac{x}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x - 2}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}$

            Результат есть: $- \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{x - 2} - \frac{5}{\left(x - 2\right)^{2}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{9}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}$

         2. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{9}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} - \frac{9}{x - 2} - \frac{23}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{23 x}{2 \left(x - 2\right)^{3}} + \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{9}{x - 2} + \frac{23}{\left(x - 2\right)^{3}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{23 x}{2 \left(x - 2\right)^{3}} + \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{9}{x - 2} + \frac{23}{\left(x - 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{23 x}{2 \left(x - 2\right)^{3}} + \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{9}{x - 2} + \frac{23}{\left(x - 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |   2                              
 |  x  + 5*x + 9                    
 |  ------------ dx = -33/8 - log(2)
 |           3                      
 |    (x - 2)                       
 |                                  
/                                   
0                                   

$$-{{8\,\log 2+13}\over{8}}-{{5}\over{2}}$$

Численный ответ

-4.81814718055995

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                                         
 |  2                                                      
 | x  + 5*x + 9            9           23                  
 | ------------ dx = C - ------ - ----------- + log(-2 + x)
 |          3            -2 + x             2              
 |   (x - 2)                      2*(-2 + x)               
 |                                                         
/                                                          

$$\int \frac{x^{2} + 5 x + 9}{\left(x - 2\right)^{3}}\, dx = C + \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{9}{x - 2} - \frac{23}{2 \left(x - 2\right)^{2}}$$

Упростить