Интеграл 1/(sin(x)^(2)*(1-cos(x))) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                          
      /                          
     |                           
     |             1             
     |  1*-------------------- dx
     |       2                   
     |    sin (x)*(1 - cos(x))   
     |                           
    /                            
    0                            
    0111(1cos(x))sin2(x)dx\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        11(1cos(x))sin2(x)=1sin2(x)cos(x)sin2(x)1 \cdot \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (1sin2(x)cos(x)sin2(x))dx=1sin2(x)cos(x)sin2(x)dx\int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

          Но интеграл

          tan(x2)4+12tan(x2)+112tan3(x2)- \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Таким образом, результат будет: tan(x2)412tan(x2)112tan3(x2)\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        11(1cos(x))sin2(x)=1sin2(x)cos(x)+sin2(x)1 \cdot \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{1}{- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        1sin2(x)cos(x)+sin2(x)=1sin2(x)cos(x)sin2(x)\frac{1}{- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (1sin2(x)cos(x)sin2(x))dx=1sin2(x)cos(x)sin2(x)dx\int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

          Но интеграл

          tan(x2)4+12tan(x2)+112tan3(x2)- \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Таким образом, результат будет: tan(x2)412tan(x2)112tan3(x2)\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      tan(x2)412tan(x2)112tan3(x2)+constant\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    tan(x2)412tan(x2)112tan3(x2)+constant\frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1000000000000000010000000000000000
    Ответ [src]
    oo
    \infty
    =
    =
    oo
    \infty
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                           /x\
     |                                                         tan|-|
     |            1                       1           1           \2/
     | 1*-------------------- dx = C - -------- - ---------- + ------
     |      2                               /x\         3/x\     4   
     |   sin (x)*(1 - cos(x))          2*tan|-|   12*tan |-|         
     |                                      \2/          \2/         
    /                                                                
    11(1cos(x))sin2(x)dx=C+tan(x2)412tan(x2)112tan3(x2)\int 1 \cdot \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{1}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{1}{12 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}
    График
    Интеграл 1/(sin(x)^(2)*(1-cos(x))) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/c/8a/1d73f58b04fe52f184c7cf297ae2f.png