Интеграл 1/x^(2/3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1        
      /        
     |         
     |   1     
     |  ---- dx
     |   2/3   
     |  x      
     |         
    /          
    0          
    011x23dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x23u = x^{\frac{2}{3}}.

        Тогда пусть du=2dx3x3du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}} и подставим 3du2\frac{3 du}{2}:

        1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1udu=321udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Таким образом, результат будет: 3u3 \sqrt{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        3x33 \sqrt[3]{x}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1x23=1x23\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

      2. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        1x23dx=3x3\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      3x3+constant3 \sqrt[3]{x}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    3x3+constant3 \sqrt[3]{x}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010010
    Ответ [src]
      1            
      /            
     |             
     |   1         
     |  ---- dx = 3
     |   2/3       
     |  x          
     |             
    /              
    0              
    33
    Численный ответ [src]
    2.9999987600149
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                     
     |                      
     |  1              3 ___
     | ---- dx = C + 3*\/ x 
     |  2/3                 
     | x                    
     |                      
    /                       
    3x133\,x^{{{1}\over{3}}}