Интеграл 1/2*sin(x)^(2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   cos(1)*sin(1)
- - -------------
4         4      

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{4} + \frac{1}{4}$$

=

=

1   cos(1)*sin(1)
- - -------------
4         4      

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{4} + \frac{1}{4}$$

Численный ответ

0.13633782164679

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    2                         
 | sin (x)          sin(2*x)   x
 | ------- dx = C - -------- + -
 |    2                8       4
 |                              
/                               

$$\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = C + \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$$

График