Интеграл 1/2*sin(x)^(2) (dx)

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |            
/             
0             

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \sin^{2}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{4} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{4} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{4} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                               
  /                               
 |                                
 |     2                          
 |  sin (x)      1   cos(1)*sin(1)
 |  ------- dx = - - -------------
 |     2         4         4      
 |                                
/                                 
0                                 

0.13633782164679

  /                             
 |                              
 |    2                         
 | sin (x)          sin(2*x)   x
 | ------- dx = C - -------- + -
 |    2                8       4
 |                              
/