Интеграл 1/2*sin(x)^(2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     2      
     |  sin (x)   
     |  ------- dx
     |     2      
     |            
    /             
    0             
    01sin2(x)2dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      sin2(x)2dx=sin2(x)dx2\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{2}

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin2(x)=12cos(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Результат есть: x2sin(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Таким образом, результат будет: x4sin(2x)8\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x4sin(2x)8+constant\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x4sin(2x)8+constant\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
    Ответ [src]
    1   cos(1)*sin(1)
    - - -------------
    4         4      
    sin(1)cos(1)4+14- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{4} + \frac{1}{4}
    =
    =
    1   cos(1)*sin(1)
    - - -------------
    4         4      
    sin(1)cos(1)4+14- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{4} + \frac{1}{4}
    Численный ответ [src]
    0.13633782164679
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                             
     |                              
     |    2                         
     | sin (x)          sin(2*x)   x
     | ------- dx = C - -------- + -
     |    2                8       4
     |                              
    /                               
    sin2(x)2dx=C+x4sin(2x)8\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = C + \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}
    График
    Интеграл 1/2*sin(x)^(2) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/6/a6/aacf10a8c20e1fa49cef96741c5ee.png