Интеграл log(tan(x)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  log(tan(x)) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\tan{\left (x \right )}} = x \tan{\left (x \right )} + \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int x \tan{\left (x \right )}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx$

   Результат есть: $\int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )}}\, dx - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    1               
  /                    /               
 |                    |                
 |  log(tan(x)) dx =  |  log(tan(x)) dx
 |                    |                
/                    /                 
0                    0                 

$${{\pi\,\log \left(\tan ^21+1\right)+2\,i\,{\it li}_{2}(i\,\tan 1+1) -2\,i\,{\it li}_{2}(1-i\,\tan 1)-4\,\log \tan 1}\over{4}}+\log \tan 1$$

Численный ответ

-0.869182036970747

Ответ (Неопределённый)

                          /                                          
  /                      |               /                           
 |                       |   x          |                            
 | log(tan(x)) dx = C -  | ------ dx -  | x*tan(x) dx + x*log(tan(x))
 |                       | tan(x)       |                            
/                        |             /                             
                        /                                            

$${{\pi\,\log \left(\tan ^2x+1\right)+2\,i\,{\it li}_{2}(i\,\tan x+1) -2\,i\,{\it li}_{2}(1-i\,\tan x)-4\,x\,\log \tan x}\over{4}}+x\, \log \tan x$$