Интеграл 3^(4*x-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |   4*x - 1   
     |  3        dx
     |             
    /              
    0              
    0134x1dx\int_{0}^{1} 3^{4 x - 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=4x1u = 4 x - 1.

        Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

        3udu\int 3^{u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3udu=143udu\int 3^{u}\, du = \frac{1}{4} \int 3^{u}\, du

          1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            3udu=3ulog(3)\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}

          Таким образом, результат будет: 3u4log(3)\frac{3^{u}}{4 \log{\left (3 \right )}}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        34x14log(3)\frac{3^{4 x - 1}}{4 \log{\left (3 \right )}}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        34x1=34x33^{4 x - 1} = \frac{3^{4 x}}{3}

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        34x3dx=1334xdx\int \frac{3^{4 x}}{3}\, dx = \frac{1}{3} \int 3^{4 x}\, dx

        1. пусть u=4xu = 4 x.

          Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

          3udu\int 3^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            3udu=143udu\int 3^{u}\, du = \frac{1}{4} \int 3^{u}\, du

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

              3udu=3ulog(3)\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}

            Таким образом, результат будет: 3u4log(3)\frac{3^{u}}{4 \log{\left (3 \right )}}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          34x4log(3)\frac{3^{4 x}}{4 \log{\left (3 \right )}}

        Таким образом, результат будет: 34x12log(3)\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}

    2. Теперь упростить:

      34x12log(3)\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      34x12log(3)+constant\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    34x12log(3)+constant\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-101005000000000000000000
    Ответ [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |   4*x - 1         20   
     |  3        dx = --------
     |                3*log(3)
    /                         
    0                         
    203log3{{20}\over{3\,\log 3}}
    Численный ответ [src]
    6.06826151084558
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          
     |                    4*x - 1
     |  4*x - 1          3       
     | 3        dx = C + --------
     |                   4*log(3)
    /                            
    34x1dx=34x14log(3)+C\int 3^{4 x - 1}\, dx = \frac{3^{4 x - 1}}{4 \log{\left (3 \right )}} + C