Интеграл 3^(4*x-1) (dx)

  1            
  /            
 |             
 |   4*x - 1   
 |  3        dx
 |             
/              
0              

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int 3^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{1}{4} \int 3^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{4 \log{\left (3 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3^{4 x - 1}}{4 \log{\left (3 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $3^{4 x - 1} = \frac{3^{4 x}}{3}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3^{4 x}}{3}\, dx = \frac{1}{3} \int 3^{4 x}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int 3^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{1}{4} \int 3^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{4 \log{\left (3 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{3^{4 x}}{4 \log{\left (3 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3^{4 x}}{12 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}$

  1                       
  /                       
 |                        
 |   4*x - 1         20   
 |  3        dx = --------
 |                3*log(3)
/                         
0                         

6.06826151084558

  /                          
 |                    4*x - 1
 |  4*x - 1          3       
 | 3        dx = C + --------
 |                   4*log(3)
/