Интеграл (x+asin(x))/sqrt(1-x^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |  x + asin(x)   
     |  ----------- dx
     |     ________   
     |    /      2    
     |  \/  1 - x     
     |                
    /                 
    0                 
    01x+asin(x)1x2dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      x+asin(x)x2+1=xx2+1+asin(x)x2+1\frac{x + \operatorname{asin}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asin}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}

    2. Интегрируем почленно:

      1. пусть u=x2+1u = - x^{2} + 1.

        Тогда пусть du=2xdxdu = - 2 x dx и подставим du2- \frac{du}{2}:

        1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1udu=121udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Таким образом, результат будет: u- \sqrt{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x2+1- \sqrt{- x^{2} + 1}

      1. пусть u=asin(x)u = \operatorname{asin}{\left (x \right )}.

        Тогда пусть du=dxx2+1du = \frac{dx}{\sqrt{- x^{2} + 1}} и подставим dudu:

        udu\int u\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        12asin2(x)\frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}

      Результат есть: x2+1+12asin2(x)- \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2+1+12asin2(x)+constant- \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2+1+12asin2(x)+constant- \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-200200
    Ответ [src]
          2
        pi 
    1 + ---
         8 
    1+π281 + \frac{\pi^{2}}{8}
    =
    =
          2
        pi 
    1 + ---
         8 
    1+π281 + \frac{\pi^{2}}{8}
    Численный ответ [src]
    2.23370054917184
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                           
     |                          2         ________
     | x + asin(x)          asin (x)     /      2 
     | ----------- dx = C + -------- - \/  1 - x  
     |    ________             2                  
     |   /      2                                 
     | \/  1 - x                                  
     |                                            
    /                                             
    x+asin(x)1x2dx=C1x2+asin2(x)2\int \frac{x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = C - \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}
    График
    Интеграл (x+asin(x))/sqrt(1-x^2) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/7/c9/e30b550c0a574f4999ca1583ee8e5.png