Интеграл (x+asin(x))/sqrt(1-x^2) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x + asin(x)   
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x + \operatorname{asin}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asin}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

2. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

   1. пусть $u = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      2
    pi 
1 + ---
     8 

$$1 + \frac{\pi^{2}}{8}$$

=

=

      2
    pi 
1 + ---
     8 

$$1 + \frac{\pi^{2}}{8}$$

Численный ответ

2.23370054917184

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                          2         ________
 | x + asin(x)          asin (x)     /      2 
 | ----------- dx = C + -------- - \/  1 - x  
 |    ________             2                  
 |   /      2                                 
 | \/  1 - x                                  
 |                                            
/                                             

$$\int \frac{x + \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = C - \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

График