Интеграл x/(x^2+8*x+7) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 8*x + 7   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 8 x + 7}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x^{2} + 8 x + 7} = \frac{7}{6 x + 42} - \frac{1}{6 x + 6}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{7}{6 x + 42}\, dx = \frac{7}{6} \int \frac{1}{x + 7}\, dx$

      1. пусть $u = x + 7$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 7 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{7}{6} \log{\left (x + 7 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{6 x + 6}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{7}{6} \log{\left (x + 7 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{7}{6} \log{\left (x + 7 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{6} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{7}{6} \log{\left (x + 7 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  7*log(7)   log(2)   7*log(8)
- -------- - ------ + --------
     6         6         6    

$$- \frac{7 \log{\left(7 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{6} + \frac{7 \log{\left(8 \right)}}{6}$$

=

=

  7*log(7)   log(2)   7*log(8)
- -------- - ------ + --------
     6         6         6    

$$- \frac{7 \log{\left(7 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{6} + \frac{7 \log{\left(8 \right)}}{6}$$

Численный ответ

0.0402620946352855

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                     
 |                          /     2      \                              
 |      x                log\7 + x  + 8*x/   2*log(1 + x)   2*log(7 + x)
 | ------------ dx = C + ----------------- - ------------ + ------------
 |  2                            2                3              3      
 | x  + 8*x + 7                                                         
 |                                                                      
/                                                                       

$$\int \frac{x}{x^{2} + 8 x + 7}\, dx = C - \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{3} + \frac{2 \log{\left(x + 7 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} + 8 x + 7 \right)}}{2}$$

График