Интеграл 7*dx/(x-3)^3 (dx)

  1            
  /            
 |             
 |     7       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  (x - 3)    
 |             
/              
0              

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{7}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx = 7 \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}$

      2. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}} = \frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}$

      3. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{7}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{7}{2 \left(x - 3\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{7}{2 \left(x - 3\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

  1                   
  /                   
 |                    
 |     7          -35 
 |  -------- dx = ----
 |         3       72 
 |  (x - 3)           
 |                    
/                     
0                     

-0.486111111111111

  /                             
 |                              
 |    7                   7     
 | -------- dx = C - -----------
 |        3                    2
 | (x - 3)           2*(-3 + x) 
 |                              
/