Интеграл cos(x)/sin(x)^(1/3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |    cos(x)     
     |  ---------- dx
     |  3 ________   
     |  \/ sin(x)    
     |               
    /                
    0                
    01cos(x)sin(x)3dx\int_{0}^{1} \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=sin(x)3u = \sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}.

        Тогда пусть du=cos(x)dx3sin23(x)du = \frac{\cos{\left (x \right )} dx}{3 \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}} и подставим 3du3 du:

        udu\int u\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          udu=3udu\int u\, du = 3 \int u\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 3u22\frac{3 u^{2}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        32sin23(x)\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos(x)sin(x)3=cos(x)sin(x)3\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}}

      2. пусть u=sin(x)u = \sin{\left (x \right )}.

        Тогда пусть du=cos(x)dxdu = \cos{\left (x \right )} dx и подставим dudu:

        1u3du\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          1u3du=3u232\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        32sin23(x)\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      32sin23(x)+constant\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    32sin23(x)+constant\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                            
      /                            
     |                       2/3   
     |    cos(x)        3*sin   (1)
     |  ---------- dx = -----------
     |  3 ________           2     
     |  \/ sin(x)                  
     |                             
    /                              
    0                              
    3(sin1)232{{3\,\left(\sin 1\right)^{{{2}\over{3}}}}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    1.33695674314605
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                               
     |                          2/3   
     |   cos(x)            3*sin   (x)
     | ---------- dx = C + -----------
     | 3 ________               2     
     | \/ sin(x)                      
     |                                
    /                                 
    3(sinx)232{{3\,\left(\sin x\right)^{{{2}\over{3}}}}\over{2}}