Интеграл cos(x)/sin(x)^(1/3) (dx)

  1              
  /              
 |               
 |    cos(x)     
 |  ---------- dx
 |  3 ________   
 |  \/ sin(x)    
 |               
/                
0                

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}$.

      Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left (x \right )} dx}{3 \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$ и подставим $3 du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = 3 \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt[3]{\sin{\left (x \right )}}}$

   2. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3}{2} \sin^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                            
  /                            
 |                       2/3   
 |    cos(x)        3*sin   (1)
 |  ---------- dx = -----------
 |  3 ________           2     
 |  \/ sin(x)                  
 |                             
/                              
0                              

1.33695674314605

  /                               
 |                          2/3   
 |   cos(x)            3*sin   (x)
 | ---------- dx = C + -----------
 | 3 ________               2     
 | \/ sin(x)                      
 |                                
/