Интеграл (1+sin(2*x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |  (1 + sin(2*x)) dx
     |                   
    /                    
    0                    
    01(sin(2x)+1)dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx
    Подробное решение
    1. Интегрируем почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть u=2xu = 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          sin(u)4du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)2du=sin(u)du2\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: cos(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          cos(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Метод #2

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2sin(x)cos(x)dx=2sin(x)cos(x)dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

              udu\int u\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (u)du=udu\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Таким образом, результат будет: u22- \frac{u^{2}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Метод #2

            1. пусть u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Тогда пусть du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx и подставим dudu:

              udu\int u\, du

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: cos2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Результат есть: xcos(2x)2x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      xcos(2x)2+constantx - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xcos(2x)2+constantx - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
    Ответ [src]
    3   cos(2)
    - - ------
    2     2   
    32cos(2)2\frac{3}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2}
    =
    =
    3   cos(2)
    - - ------
    2     2   
    32cos(2)2\frac{3}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2}
    Численный ответ [src]
    1.70807341827357
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                    
     |                             cos(2*x)
     | (1 + sin(2*x)) dx = C + x - --------
     |                                2    
    /                                      
    (sin(2x)+1)dx=C+xcos(2x)2\int \left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right)\, dx = C + x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
    График
    Интеграл (1+sin(2*x)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/c/ea/8d8410f0ff99ecad1a732dddb3bf6.png