Интеграл (cos(x))^3*sin(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |     3             
     |  cos (x)*sin(x) dx
     |                   
    /                    
    0                    
    01sin(x)cos3(x)dx\int_{0}^{1} \sin{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left (x \right )}.

        Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left (x \right )} dx и подставим du- du:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u3du=u3du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: u44- \frac{u^{4}}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        14cos4(x)- \frac{1}{4} \cos^{4}{\left (x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin(x)cos3(x)=(sin2(x)+1)sin(x)cos(x)\sin{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

      2. пусть u=sin2(x)u = \sin^{2}{\left (x \right )}.

        Тогда пусть du=2sin(x)cos(x)dxdu = 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} dx и подставим dudu:

        u2+12du\int - \frac{u}{2} + \frac{1}{2}\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            u2du=12udu\int - \frac{u}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: u24- \frac{u^{2}}{4}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          Результат есть: u24+u2- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        14sin4(x)+12sin2(x)- \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      14cos4(x)+constant- \frac{1}{4} \cos^{4}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    14cos4(x)+constant- \frac{1}{4} \cos^{4}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
    Ответ [src]
      1                                
      /                                
     |                             4   
     |     3                1   cos (1)
     |  cos (x)*sin(x) dx = - - -------
     |                      4      4   
    /                                  
    0                                  
    14cos414{{1}\over{4}}-{{\cos ^41}\over{4}}
    Численный ответ [src]
    0.228694717720381
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                               
     |                            4   
     |    3                    cos (x)
     | cos (x)*sin(x) dx = C - -------
     |                            4   
    /                                 
    cos4x4-{{\cos ^4x}\over{4}}