Интеграл sqrt(y/k) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      ___   
 |     / y    
 |    /  -  dy
 |  \/   k    
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{y}{k}}\, dy$$

Подробное решение

1. пусть $u = \frac{y}{k}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dy}{k}$ и подставим $du k$:

   $\int \sqrt{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sqrt{u}\, du = k \int \sqrt{u}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 k}{3} u^{\frac{3}{2}}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{2 k}{3} \left(\frac{y}{k}\right)^{\frac{3}{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 k}{3} \left(\frac{y}{k}\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 k}{3} \left(\frac{y}{k}\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                     3/2
 |                   /1\   
 |      ___      2*k*|-|   
 |     / y           \k/   
 |    /  -  dy = ----------
 |  \/   k           3     
 |                         
/                          
0                          

$${{2}\over{3\,\sqrt{k}}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                        3/2
 |                      /y\   
 |     ___          2*k*|-|   
 |    / y               \k/   
 |   /  -  dy = C + ----------
 | \/   k               3     
 |                            
/                             

$${{2\,k\,\left({{y}\over{k}}\right)^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}$$

Упростить