Интеграл ((1/2)*x+1)^5 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         5   
 |  /x    \    
 |  |- + 1|  dx
 |  \2    /    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(\frac{x}{2} + 1\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{5}\, du = 2 \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \left(\frac{x}{2} + 1\right)^{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{5} = \frac{x^{5}}{32} + \frac{5 x^{4}}{16} + \frac{5 x^{3}}{4} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5 x}{2} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x^{5}}{32}\, dx = \frac{1}{32} \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{6}}{192}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x^{4}}{16}\, dx = \frac{5}{16} \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{5}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x^{3}}{4}\, dx = \frac{5}{4} \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{4}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x^{2}}{2}\, dx = \frac{5}{2} \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{3}}{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5 x}{2}\, dx = \frac{5}{2} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{2}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{x^{6}}{192} + \frac{x^{5}}{16} + \frac{5 x^{4}}{16} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{4} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{192} \left(x + 2\right)^{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{192} \left(x + 2\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{192} \left(x + 2\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |         5         
 |  /x    \       665
 |  |- + 1|  dx = ---
 |  \2    /       192
 |                   
/                    
0                    

$${{665}\over{192}}$$

Численный ответ

3.46354166666667

Ответ (Неопределённый)

  /                         6
 |                   /x    \ 
 |        5          |- + 1| 
 | /x    \           \2    / 
 | |- + 1|  dx = C + --------
 | \2    /              3    
 |                           
/                            

$${{x^6}\over{192}}+{{x^5}\over{16}}+{{5\,x^4}\over{16}}+{{5\,x^3 }\over{6}}+{{5\,x^2}\over{4}}+x$$