Интеграл (x-2)/(x-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |  x - 2   
     |  ----- dx
     |  x - 1   
     |          
    /           
    0           
    01x2x1dx\int_{0}^{1} \frac{x - 2}{x - 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2x1=11x1\frac{x - 2}{x - 1} = 1 - \frac{1}{x - 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1x1dx=1x1dx\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

          1. пусть u=x1u = x - 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: log(x1)- \log{\left (x - 1 \right )}

        Результат есть: xlog(x1)x - \log{\left (x - 1 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2x1=xx12x1\frac{x - 2}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x - 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          xx1=1+1x1\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. пусть u=x1u = x - 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

          Результат есть: x+log(x1)x + \log{\left (x - 1 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2x1dx=21x1dx\int - \frac{2}{x - 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=x1u = x - 1.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              1x1=1x1\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}

            2. пусть u=x1u = x - 1.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: 2log(x1)- 2 \log{\left (x - 1 \right )}

        Результат есть: x+log(x1)2log(x1)x + \log{\left (x - 1 \right )} - 2 \log{\left (x - 1 \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      xlog(x1)+constantx - \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xlog(x1)+constantx - \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
      1                     
      /                     
     |                      
     |  x - 2               
     |  ----- dx = oo + pi*I
     |  x - 1               
     |                      
    /                       
    0                       
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    45.0909567862195
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                               
     | x - 2                         
     | ----- dx = C + x - log(-1 + x)
     | x - 1                         
     |                               
    /                                
    xlog(x1)x-\log \left(x-1\right)