Интеграл ((x^3)+1)/((x^3)-(x^2)) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |    3       
 |   x  + 1   
 |  ------- dx
 |   3    2   
 |  x  - x    
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - x^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - x^{2}} = 1 + \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x \right )} + 2 \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{1}{x^{3} - x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{x^{3} - x^{2}} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Результат есть: $x + \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x^{3} - x^{2}} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x}\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$

         Результат есть: $- \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{x}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x \right )} + 2 \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \log{\left (x \right )} + 2 \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \log{\left (x \right )} + 2 \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |    3             
 |   x  + 1         
 |  ------- dx = -oo
 |   3    2         
 |  x  - x          
 |                  
/                   
0                   

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-1.3793236779486e+19

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 |   3                                            
 |  x  + 1              1                         
 | ------- dx = C + x + - - log(x) + 2*log(-1 + x)
 |  3    2              x                         
 | x  - x                                         
 |                                                
/                                                 

$$-\log x+x+{{1}\over{x}}+2\,\log \left(x-1\right)$$