Интеграл x/(sqrt(1+x^2)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |       x        
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 + x     
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x^{2} + 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sqrt{x^{2} + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   2. пусть $u = x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $\sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sqrt{x^{2} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\sqrt{x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\sqrt{x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |       x                  ___
 |  ----------- dx = -1 + \/ 2 
 |     ________                
 |    /      2                 
 |  \/  1 + x                  
 |                             
/                              
0                              

$$\sqrt{2}-1$$

Численный ответ

0.414213562373095

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                         ________
 |      x                 /      2 
 | ----------- dx = C + \/  1 + x  
 |    ________                     
 |   /      2                      
 | \/  1 + x                       
 |                                 
/                                  

$$\sqrt{x^2+1}$$