Интеграл dx/(2*x^2+7) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |       2       
 |    2*x  + 7   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 7}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |        1       
 | 1*1*-------- dx
 |        2       
 |     2*x  + 7   
 |                
/                 

Перепишем подинтегральную функцию

     1                   1            
1*-------- = -------------------------
     2         /                2    \
  2*x  + 7     |/   ____       \     |
               ||-\/ 14        |     |
             7*||--------*x + 0|  + 1|
               \\   7          /     /

или

  /                 
 |                  
 |        1         
 | 1*1*-------- dx  
 |        2        =
 |     2*x  + 7     
 |                  
/                   
  

  /                        
 |                         
 |           1             
 | --------------------- dx
 |                 2       
 | /   ____       \        
 | |-\/ 14        |        
 | |--------*x + 0|  + 1   
 | \   7          /        
 |                         
/                          
---------------------------
             7             

В интеграле

  /                        
 |                         
 |           1             
 | --------------------- dx
 |                 2       
 | /   ____       \        
 | |-\/ 14        |        
 | |--------*x + 0|  + 1   
 | \   7          /        
 |                         
/                          
---------------------------
             7             

сделаем замену

         ____ 
    -x*\/ 14  
v = ----------
        7     

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     7            7   

делаем обратную замену

  /                                                
 |                                                 
 |           1                                     
 | --------------------- dx                        
 |                 2                               
 | /   ____       \                                
 | |-\/ 14        |                                
 | |--------*x + 0|  + 1                 /    ____\
 | \   7          /             ____     |x*\/ 14 |
 |                            \/ 14 *atan|--------|
/                                        \   7    /
--------------------------- = ---------------------
             7                          14         

Решением будет:

               /    ____\
      ____     |x*\/ 14 |
    \/ 14 *atan|--------|
               \   7    /
C + ---------------------
              14         

Ответ

           /  ____\
  ____     |\/ 14 |
\/ 14 *atan|------|
           \  7   /
-------------------
         14        

$$\frac{\sqrt{14} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}}{14}$$

=

=

           /  ____\
  ____     |\/ 14 |
\/ 14 *atan|------|
           \  7   /
-------------------
         14        

$$\frac{\sqrt{14} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14}}{7} \right)}}{14}$$

Численный ответ

0.131193914232898

Ответ (Неопределённый)

                                  /    ____\
  /                      ____     |x*\/ 14 |
 |                     \/ 14 *atan|--------|
 |      1                         \   7    /
 | 1*-------- dx = C + ---------------------
 |      2                        14         
 |   2*x  + 7                               
 |                                          
/                                           

$$\int 1 \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 7}\, dx = C + \frac{\sqrt{14} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{14} x}{7} \right)}}{14}$$

График