Интеграл (sin(x))^3+(cos(x))^3 (dx)

Вы ввели

  1                       
  /                       
 |                        
 |  /   3         3   \   
 |  \sin (x) + cos (x)/ dx
 |                        
/                         
0                         

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

   2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 9 \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{2} \left(\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 9 \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} \left(\sin{\left(3 x + \frac{\pi}{4} \right)} - 9 \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                3         3            
2            sin (1)   cos (1)         
- - cos(1) - ------- + ------- + sin(1)
3               3         3            

$$- \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{3} + \sin{\left(1 \right)}$$

=

=

                3         3            
2            sin (1)   cos (1)         
- - cos(1) - ------- + ------- + sin(1)
3               3         3            

$$- \cos{\left(1 \right)} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{\cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2}{3} + \sin{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.821803801826436

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                          3         3            
 | /   3         3   \                   sin (x)   cos (x)         
 | \sin (x) + cos (x)/ dx = C - cos(x) - ------- + ------- + sin(x)
 |                                          3         3            
/                                                                  

$$\int \left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = C - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$$

График