Интеграл (tan(x)^3) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     3      
     |  tan (x) dx
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл есть :

          Если сейчас заменить ещё в:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                     
      /                                                     
     |                        /       2   \                 
     |     3           1   log\1 - sin (1)/         1       
     |  tan (x) dx = - - + ---------------- - --------------
     |                 2          2                     2   
    /                                         -2 + 2*sin (1)
    0                                                       
    $${{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^21-2}}- {{1}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.597132940021366
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                       
     |                     2         /   2   \
     |    3             sec (x)   log\sec (x)/
     | tan (x) dx = C + ------- - ------------
     |                     2           2      
    /                                         
    $${{\log \left(\sin ^2x-1\right)}\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2x-2}}$$