Интеграл 1/(2*x^2-2*x+5) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                  
      /                  
     |                   
     |        1          
     |  -------------- dx
     |     2             
     |  2*x  - 2*x + 5   
     |                   
    /                    
    0                    
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} - 2 x + 5}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /                 
     |                  
     |       1          
     | -------------- dx
     |    2             
     | 2*x  - 2*x + 5   
     |                  
    /                   
    Перепишем подинтегральную функцию
          1                   2          
    -------------- = --------------------
       2               /           2    \
    2*x  - 2*x + 5     |/  2*x   1\     |
                     9*||- --- + -|  + 1|
                       \\   3    3/     /
    или
      /                   
     |                    
     |       1            
     | -------------- dx  
     |    2              =
     | 2*x  - 2*x + 5     
     |                    
    /                     
      
        /                   
       |                    
       |        1           
    2* | ---------------- dx
       |            2       
       | /  2*x   1\        
       | |- --- + -|  + 1   
       | \   3    3/        
       |                    
      /                     
    ------------------------
               9            
    В интеграле
        /                   
       |                    
       |        1           
    2* | ---------------- dx
       |            2       
       | /  2*x   1\        
       | |- --- + -|  + 1   
       | \   3    3/        
       |                    
      /                     
    ------------------------
               9            
    сделаем замену
        1   2*x
    v = - - ---
        3    3 
    тогда
    интеграл =
        /                     
       |                      
       |   1                  
    2* | ------ dv            
       |      2               
       | 1 + v                
       |                      
      /              2*atan(v)
    -------------- = ---------
          9              9    
    делаем обратную замену
        /                                     
       |                                      
       |        1                             
    2* | ---------------- dx                  
       |            2                         
       | /  2*x   1\                          
       | |- --- + -|  + 1                     
       | \   3    3/               /  1   2*x\
       |                       atan|- - + ---|
      /                            \  3    3 /
    ------------------------ = ---------------
               9                      3       
    Решением будет:
            /  1   2*x\
        atan|- - + ---|
            \  3    3 /
    C + ---------------
               3       
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                
      /                                
     |                                 
     |        1             2*atan(1/3)
     |  -------------- dx = -----------
     |     2                     3     
     |  2*x  - 2*x + 5                 
     |                                 
    /                                  
    0                                  
    $${{2\,\arctan \left({{1}\over{3}}\right)}\over{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.214500369597761
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                            /  1   2*x\
     |                         atan|- - + ---|
     |       1                     \  3    3 /
     | -------------- dx = C + ---------------
     |    2                           3       
     | 2*x  - 2*x + 5                         
     |                                        
    /                                         
    $${{\arctan \left({{4\,x-2}\over{6}}\right)}\over{3}}$$