Интеграл 1/(2*x^2-2*x+5) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |        1          
 |  -------------- dx
 |     2             
 |  2*x  - 2*x + 5   
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} - 2 x + 5}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |    2             
 | 2*x  - 2*x + 5   
 |                  
/                   

Перепишем подинтегральную функцию

      1                   2          
-------------- = --------------------
   2               /           2    \
2*x  - 2*x + 5     |/  2*x   1\     |
                 9*||- --- + -|  + 1|
                   \\   3    3/     /

или

  /                   
 |                    
 |       1            
 | -------------- dx  
 |    2              =
 | 2*x  - 2*x + 5     
 |                    
/                     
  

    /                   
   |                    
   |        1           
2* | ---------------- dx
   |            2       
   | /  2*x   1\        
   | |- --- + -|  + 1   
   | \   3    3/        
   |                    
  /                     
------------------------
           9            

В интеграле

    /                   
   |                    
   |        1           
2* | ---------------- dx
   |            2       
   | /  2*x   1\        
   | |- --- + -|  + 1   
   | \   3    3/        
   |                    
  /                     
------------------------
           9            

сделаем замену

    1   2*x
v = - - ---
    3    3 

тогда

интеграл =

    /                     
   |                      
   |   1                  
2* | ------ dv            
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /              2*atan(v)
-------------- = ---------
      9              9    

делаем обратную замену

    /                                     
   |                                      
   |        1                             
2* | ---------------- dx                  
   |            2                         
   | /  2*x   1\                          
   | |- --- + -|  + 1                     
   | \   3    3/               /  1   2*x\
   |                       atan|- - + ---|
  /                            \  3    3 /
------------------------ = ---------------
           9                      3       

Решением будет:

        /  1   2*x\
    atan|- - + ---|
        \  3    3 /
C + ---------------
           3       

Ответ

  1                                
  /                                
 |                                 
 |        1             2*atan(1/3)
 |  -------------- dx = -----------
 |     2                     3     
 |  2*x  - 2*x + 5                 
 |                                 
/                                  
0                                  

$${{2\,\arctan \left({{1}\over{3}}\right)}\over{3}}$$

Численный ответ

0.214500369597761

Ответ (Неопределённый)

  /                            /  1   2*x\
 |                         atan|- - + ---|
 |       1                     \  3    3 /
 | -------------- dx = C + ---------------
 |    2                           3       
 | 2*x  - 2*x + 5                         
 |                                        
/                                         

$${{\arctan \left({{4\,x-2}\over{6}}\right)}\over{3}}$$