Интеграл (2*x^2+6)/(x^3+6*x) (dx)

  1            
  /            
 |             
 |     2       
 |  2*x  + 6   
 |  -------- dx
 |   3         
 |  x  + 6*x   
 |             
/              
0              

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{2} + 6}{x^{3} + 6 x} = \frac{x}{x^{2} + 6} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x^{2} + 6$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $\log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{2} + 6}{x^{3} + 6 x} = \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 6 x} + \frac{6}{x^{3} + 6 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 6 x}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 6 x}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{3} + 6 x} = \frac{x}{x^{2} + 6}$

         2. пусть $u = x^{2} + 6$.

            Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{6}{x^{3} + 6 x}\, dx = 6 \int \frac{1}{x^{3} + 6 x}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} + 6 x} = - \frac{x}{6 x^{2} + 36} + \frac{1}{6 x}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{x}{6 x^{2} + 36}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{x}{x^{2} + 6}\, dx$

               1. пусть $u = x^{2} + 6$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{6 x}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log{\left (x \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{6} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

      Результат есть: $\log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                 
  /                 
 |                  
 |     2            
 |  2*x  + 6        
 |  -------- dx = oo
 |   3              
 |  x  + 6*x        
 |                  
/                   
0                   

44.1675214739065

  /                                      
 |                                       
 |    2                 /     2\         
 | 2*x  + 6          log\6 + x /         
 | -------- dx = C + ----------- + log(x)
 |  3                     2              
 | x  + 6*x                              
 |                                       
/