Интеграл (2*x^2+6)/(x^3+6*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |     2       
     |  2*x  + 6   
     |  -------- dx
     |   3         
     |  x  + 6*x   
     |             
    /              
    0              
    012x2+6x3+6xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x^{2} + 6}{x^{3} + 6 x}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x2+6x3+6x=xx2+6+1x\frac{2 x^{2} + 6}{x^{3} + 6 x} = \frac{x}{x^{2} + 6} + \frac{1}{x}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          xx2+6dx=2xx2+6dx2\int \frac{x}{x^{2} + 6}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 6}\, dx}{2}

          1. пусть u=x2+6u = x^{2} + 6.

            Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x2+6)\log{\left(x^{2} + 6 \right)}

          Таким образом, результат будет: log(x2+6)2\frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}

        1. Интеграл 1x\frac{1}{x} есть log(x)\log{\left(x \right)}.

        Результат есть: log(x)+log(x2+6)2\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x2+6x3+6x=2x2x3+6x+6x3+6x\frac{2 x^{2} + 6}{x^{3} + 6 x} = \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 6 x} + \frac{6}{x^{3} + 6 x}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2x2x3+6xdx=2x2x3+6xdx\int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 6 x}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 6 x}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x2x3+6x=xx2+6\frac{x^{2}}{x^{3} + 6 x} = \frac{x}{x^{2} + 6}

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            xx2+6dx=2xx2+6dx2\int \frac{x}{x^{2} + 6}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 6}\, dx}{2}

            1. пусть u=x2+6u = x^{2} + 6.

              Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x2+6)\log{\left(x^{2} + 6 \right)}

            Таким образом, результат будет: log(x2+6)2\frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: log(x2+6)\log{\left(x^{2} + 6 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          6x3+6xdx=61x3+6xdx\int \frac{6}{x^{3} + 6 x}\, dx = 6 \int \frac{1}{x^{3} + 6 x}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x3+6x=x6(x2+6)+16x\frac{1}{x^{3} + 6 x} = - \frac{x}{6 \left(x^{2} + 6\right)} + \frac{1}{6 x}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (x6(x2+6))dx=xx2+6dx6\int \left(- \frac{x}{6 \left(x^{2} + 6\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 6}\, dx}{6}

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                xx2+6dx=2xx2+6dx2\int \frac{x}{x^{2} + 6}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 6}\, dx}{2}

                1. пусть u=x2+6u = x^{2} + 6.

                  Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                  12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

                  1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  log(x2+6)\log{\left(x^{2} + 6 \right)}

                Таким образом, результат будет: log(x2+6)2\frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}

              Таким образом, результат будет: log(x2+6)12- \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{12}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              16xdx=1xdx6\int \frac{1}{6 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{6}

              1. Интеграл 1x\frac{1}{x} есть log(x)\log{\left(x \right)}.

              Таким образом, результат будет: log(x)6\frac{\log{\left(x \right)}}{6}

            Результат есть: log(x)6log(x2+6)12\frac{\log{\left(x \right)}}{6} - \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{12}

          Таким образом, результат будет: log(x)log(x2+6)2\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}

        Результат есть: log(x)+log(x2+6)2\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(x)+log(x2+6)2+constant\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(x)+log(x2+6)2+constant\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
    oo
    \infty
    =
    =
    oo
    \infty
    Численный ответ [src]
    44.1675214739065
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                      
     |                                       
     |    2                 /     2\         
     | 2*x  + 6          log\6 + x /         
     | -------- dx = C + ----------- + log(x)
     |  3                     2              
     | x  + 6*x                              
     |                                       
    /                                        
    2x2+6x3+6xdx=C+log(x)+log(x2+6)2\int \frac{2 x^{2} + 6}{x^{3} + 6 x}\, dx = C + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 6 \right)}}{2}