Интеграл dx/(x^2+2*x+5) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                
      /                
     |                 
     |       1         
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  + 2*x + 5   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 5}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |      1         
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 2*x + 5   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
         1                 1         
    ------------ = ------------------
     2               /         2    \
    x  + 2*x + 5     |/  x   1\     |
                   4*||- - - -|  + 1|
                     \\  2   2/     /
    или
      /                 
     |                  
     |      1           
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  + 2*x + 5     
     |                  
    /                   
      
      /                 
     |                  
     |       1          
     | -------------- dx
     |          2       
     | /  x   1\        
     | |- - - -|  + 1   
     | \  2   2/        
     |                  
    /                   
    --------------------
             4          
    В интеграле
      /                 
     |                  
     |       1          
     | -------------- dx
     |          2       
     | /  x   1\        
     | |- - - -|  + 1   
     | \  2   2/        
     |                  
    /                   
    --------------------
             4          
    сделаем замену
          1   x
    v = - - - -
          2   2
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv          
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /              atan(v)
    ------------ = -------
         4            4   
    делаем обратную замену
      /                               
     |                                
     |       1                        
     | -------------- dx              
     |          2                     
     | /  x   1\                      
     | |- - - -|  + 1                 
     | \  2   2/               /1   x\
     |                     atan|- + -|
    /                          \2   2/
    -------------------- = -----------
             4                  2     
    Решением будет:
            /1   x\
        atan|- + -|
            \2   2/
    C + -----------
             2     
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                   
      /                                   
     |                                    
     |       1              atan(1/2)   pi
     |  ------------ dx = - --------- + --
     |   2                      2       8 
     |  x  + 2*x + 5                      
     |                                    
    /                                     
    0                                     
    $${{\pi}\over{8}}-{{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.160875277198321
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                          /1   x\
     |                       atan|- + -|
     |      1                    \2   2/
     | ------------ dx = C + -----------
     |  2                         2     
     | x  + 2*x + 5                     
     |                                  
    /                                   
    $${{\arctan \left({{2\,x+2}\over{4}}\right)}\over{2}}$$