Интеграл dx/(x^2+2*x+5) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 5   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 5}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |      1         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/                 

Перепишем подинтегральную функцию

     1                 1         
------------ = ------------------
 2               /         2    \
x  + 2*x + 5     |/  x   1\     |
               4*||- - - -|  + 1|
                 \\  2   2/     /

или

  /                 
 |                  
 |      1           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 5     
 |                  
/                   
  

  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - - -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4          

В интеграле

  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - - -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4          

сделаем замену

      1   x
v = - - - -
      2   2

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4   

делаем обратную замену

  /                               
 |                                
 |       1                        
 | -------------- dx              
 |          2                     
 | /  x   1\                      
 | |- - - -|  + 1                 
 | \  2   2/               /1   x\
 |                     atan|- + -|
/                          \2   2/
-------------------- = -----------
         4                  2     

Решением будет:

        /1   x\
    atan|- + -|
        \2   2/
C + -----------
         2     

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |       1              atan(1/2)   pi
 |  ------------ dx = - --------- + --
 |   2                      2       8 
 |  x  + 2*x + 5                      
 |                                    
/                                     
0                                     

$${{\pi}\over{8}}-{{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.160875277198321

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                          /1   x\
 |                       atan|- + -|
 |      1                    \2   2/
 | ------------ dx = C + -----------
 |  2                         2     
 | x  + 2*x + 5                     
 |                                  
/                                   

$${{\arctan \left({{2\,x+2}\over{4}}\right)}\over{2}}$$

Упростить