Интеграл 1/(x^2+2*x+2) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 2   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |      1         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 2   
 |                
/                 

Перепишем подинтегральную функцию

     1               1      
------------ = -------------
 2                     2    
x  + 2*x + 2   (-x - 1)  + 1

или

  /                 
 |                  
 |      1           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 2     
 |                  
/                   
  

  /                
 |                 
 |       1         
 | ------------- dx
 |         2       
 | (-x - 1)  + 1   
 |                 
/                  

В интеграле

  /                
 |                 
 |       1         
 | ------------- dx
 |         2       
 | (-x - 1)  + 1   
 |                 
/                  

сделаем замену

v = -1 - x

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     

делаем обратную замену

  /                              
 |                               
 |       1                       
 | ------------- dx = atan(1 + x)
 |         2                     
 | (-x - 1)  + 1                 
 |                               
/                                

Решением будет:

C + atan(1 + x)

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |       1              pi          
 |  ------------ dx = - -- + atan(2)
 |   2                  4           
 |  x  + 2*x + 2                    
 |                                  
/                                   
0                                   

$$\arctan 2-{{\pi}\over{4}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.321750554396642

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                 
 |                                  
 |      1                           
 | ------------ dx = C + atan(1 + x)
 |  2                               
 | x  + 2*x + 2                     
 |                                  
/                                   

$$\arctan \left({{2\,x+2}\over{2}}\right)$$

Упростить