Интеграл 1/(x^2+2*x+2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                
      /                
     |                 
     |       1         
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  + 2*x + 2   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |      1         
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 2*x + 2   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
         1               1      
    ------------ = -------------
     2                     2    
    x  + 2*x + 2   (-x - 1)  + 1
    или
      /                 
     |                  
     |      1           
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  + 2*x + 2     
     |                  
    /                   
      
      /                
     |                 
     |       1         
     | ------------- dx
     |         2       
     | (-x - 1)  + 1   
     |                 
    /                  
    В интеграле
      /                
     |                 
     |       1         
     | ------------- dx
     |         2       
     | (-x - 1)  + 1   
     |                 
    /                  
    сделаем замену
    v = -1 - x
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv = atan(v)
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /                     
    делаем обратную замену
      /                              
     |                               
     |       1                       
     | ------------- dx = atan(1 + x)
     |         2                     
     | (-x - 1)  + 1                 
     |                               
    /                                
    Решением будет:
    C + atan(1 + x)
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                 
      /                                 
     |                                  
     |       1              pi          
     |  ------------ dx = - -- + atan(2)
     |   2                  4           
     |  x  + 2*x + 2                    
     |                                  
    /                                   
    0                                   
    $$\arctan 2-{{\pi}\over{4}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.321750554396642
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                 
     |                                  
     |      1                           
     | ------------ dx = C + atan(1 + x)
     |  2                               
     | x  + 2*x + 2                     
     |                                  
    /                                   
    $$\arctan \left({{2\,x+2}\over{2}}\right)$$