Интеграл (x-5)*cos(2*x)*dx (dx)

  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x - 5)*cos(2*x) dx
 |                     
/                      
0                      

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x - 5$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \sin{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - 5\right) \cos{\left (2 x \right )} = x \cos{\left (2 x \right )} - 5 \cos{\left (2 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \sin{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 5 \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - 5 \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} \sin{\left (2 x \right )} - \frac{5}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \left(x - 5\right) \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{2} \left(x - 5\right) \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                              
  /                                              
 |                          1              cos(2)
 |  (x - 5)*cos(2*x) dx = - - - 2*sin(2) + ------
 |                          4                4   
/                                                
0                                                

-2.17263156278815

  /                                                      
 |                           cos(2*x)   (-5 + x)*sin(2*x)
 | (x - 5)*cos(2*x) dx = C + -------- + -----------------
 |                              4               2        
/