Интеграл (x-5)*cos(2*x)*dx (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |  (x - 5)*cos(2*x) dx
     |                     
    /                      
    0                      
    01(x5)cos(2x)dx\int_{0}^{1} \left(x - 5\right) \cos{\left (2 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=x5u{\left (x \right )} = x - 5 и пусть dv(x)=cos(2x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )} dx.

        Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. пусть u=2xu = 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12sin(2x)\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12sin(2x)dx=12sin(2x)dx\int \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \sin{\left (2 x \right )}\, dx

        1. пусть u=2xu = 2 x.

          Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)du=12sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 12cos(u)- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12cos(2x)- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}

        Таким образом, результат будет: 14cos(2x)- \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x5)cos(2x)=xcos(2x)5cos(2x)\left(x - 5\right) \cos{\left (2 x \right )} = x \cos{\left (2 x \right )} - 5 \cos{\left (2 x \right )}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=xu{\left (x \right )} = x и пусть dv(x)=cos(2x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )} dx.

          Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

          Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12sin(2x)\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          12sin(2x)dx=12sin(2x)dx\int \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \sin{\left (2 x \right )}\, dx

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)du=12sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 12cos(u)- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12cos(2x)- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 14cos(2x)- \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          5cos(2x)dx=5cos(2x)dx\int - 5 \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - 5 \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12sin(2x)\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 52sin(2x)- \frac{5}{2} \sin{\left (2 x \right )}

        Результат есть: x2sin(2x)52sin(2x)+14cos(2x)\frac{x}{2} \sin{\left (2 x \right )} - \frac{5}{2} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      12(x5)sin(2x)+14cos(2x)+constant\frac{1}{2} \left(x - 5\right) \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    12(x5)sin(2x)+14cos(2x)+constant\frac{1}{2} \left(x - 5\right) \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2525
    Ответ [src]
      1                                              
      /                                              
     |                          1              cos(2)
     |  (x - 5)*cos(2*x) dx = - - - 2*sin(2) + ------
     |                          4                4   
    /                                                
    0                                                
    8sin2cos2414-{{8\,\sin 2-\cos 2}\over{4}}-{{1}\over{4}}
    Численный ответ [src]
    -2.17263156278815
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                      
     |                           cos(2*x)   (-5 + x)*sin(2*x)
     | (x - 5)*cos(2*x) dx = C + -------- + -----------------
     |                              4               2        
    /                                                        
    2xsin(2x)+cos(2x)25sin(2x)2{{{{2\,x\,\sin \left(2\,x\right)+\cos \left(2\,x\right)}\over{2}}-5 \,\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}