Интеграл x^4/(x^4-16) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      4     
 |     x      
 |  ------- dx
 |   4        
 |  x  - 16   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4} - 16}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{4}}{x^{4} - 16} = 1 - \frac{2}{x^{2} + 4} - \frac{1}{2 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{2}{x^{2} + 4}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$.

      Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x + 2 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x - 2 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}$

   Результат есть: $x + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                log(3)
1 - atan(1/2) - ------
                  2   

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1$$

=

=

                log(3)
1 - atan(1/2) - ------
                  2   

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1$$

Численный ответ

-0.012953753334861

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                                                        
 |     4                                                  
 |    x                 log(-2 + x)       /x\   log(2 + x)
 | ------- dx = C + x + ----------- - atan|-| - ----------
 |  4                        2            \2/       2     
 | x  - 16                                                
 |                                                        
/                                                         

$$\int \frac{x^{4}}{x^{4} - 16}\, dx = C + x + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

График