Интеграл x^4/(x^4-16) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      4     
 |     x      
 |  ------- dx
 |   4        
 |  x  - 16   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4} - 16}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{4}}{x^{4} - 16} = 1 - \frac{2}{x^{2} + 4} - \frac{1}{2 x + 4} + \frac{1}{2 x - 4}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{2}{x^{2} + 4}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $2 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 x + 4}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x - 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}$

   Результат есть: $x + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |      4                              
 |     x                         log(3)
 |  ------- dx = 1 - atan(1/2) - ------
 |   4                             2   
 |  x  - 16                            
 |                                     
/                                      
0                                      

$$-{{\log 3}\over{2}}-\arctan \left({{1}\over{2}}\right)+1$$

Численный ответ

-0.012953753334861

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                                                        
 |     4                                                  
 |    x                 log(-2 + x)       /x\   log(2 + x)
 | ------- dx = C + x + ----------- - atan|-| - ----------
 |  4                        2            \2/       2     
 | x  - 16                                                
 |                                                        
/                                                         

$$\int \frac{x^{4}}{x^{4} - 16}\, dx = C + x + \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Упростить