Интеграл cos(x)*sqrt(3+2*sin(x)) (dx)

  1                           
  /                           
 |                            
 |           ______________   
 |  cos(x)*\/ 3 + 2*sin(x)  dx
 |                            
/                             
0                             

1. пусть $u = 2 \sin{\left (x \right )} + 3$.

   Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \sqrt{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sqrt{u}\, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{3} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{\frac{3}{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{3} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

  1                                                                                  
  /                                                                                  
 |                                                              ______________       
 |           ______________        ______________     ___   2*\/ 3 + 2*sin(1) *sin(1)
 |  cos(x)*\/ 3 + 2*sin(x)  dx = \/ 3 + 2*sin(1)  - \/ 3  + -------------------------
 |                                                                      3            
/                                                                                    
0                                                                                    

1.64592791301081

  /                                                  
 |                                                3/2
 |          ______________          (3 + 2*sin(x))   
 | cos(x)*\/ 3 + 2*sin(x)  dx = C + -----------------
 |                                          3        
/