Интеграл cos(x)*sqrt(3+2*sin(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                           
      /                           
     |                            
     |           ______________   
     |  cos(x)*\/ 3 + 2*sin(x)  dx
     |                            
    /                             
    0                             
    012sin(x)+3cos(x)dx\int_{0}^{1} \sqrt{2 \sin{\left (x \right )} + 3} \cos{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. пусть u=2sin(x)+3u = 2 \sin{\left (x \right )} + 3.

      Тогда пусть du=2cos(x)dxdu = 2 \cos{\left (x \right )} dx и подставим du2\frac{du}{2}:

      udu\int \sqrt{u}\, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        udu=12udu\int \sqrt{u}\, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          udu=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

        Таким образом, результат будет: u323\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Если сейчас заменить uu ещё в:

      13(2sin(x)+3)32\frac{1}{3} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{\frac{3}{2}}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      13(2sin(x)+3)32+constant\frac{1}{3} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    13(2sin(x)+3)32+constant\frac{1}{3} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 3\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Ответ [src]
      1                                                                                  
      /                                                                                  
     |                                                              ______________       
     |           ______________        ______________     ___   2*\/ 3 + 2*sin(1) *sin(1)
     |  cos(x)*\/ 3 + 2*sin(x)  dx = \/ 3 + 2*sin(1)  - \/ 3  + -------------------------
     |                                                                      3            
    /                                                                                    
    0                                                                                    
    (2sin1+3)3233{{\left(2\,\sin 1+3\right)^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}-\sqrt{3}
    Численный ответ [src]
    1.64592791301081
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                  
     |                                                3/2
     |          ______________          (3 + 2*sin(x))   
     | cos(x)*\/ 3 + 2*sin(x)  dx = C + -----------------
     |                                          3        
    /                                                    
    (2sinx+3)323{{\left(2\,\sin x+3\right)^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}