Интеграл (x^2-9)/(x^2-8) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  - 9   
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 8   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8} = 1 - \frac{1}{x^{2} - 8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} + \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

      Результат есть: $x - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} + \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - \frac{9}{x^{2} - 8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} - 8} = 1 + \frac{8}{x^{2} - 8}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{8}{x^{2} - 8}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{2} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} - \sqrt{2} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

         Результат есть: $x + \sqrt{2} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} - \sqrt{2} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{9}{x^{2} - 8}\, dx = - 9 \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{9 \sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} + \frac{9 \sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

      Результат есть: $x - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} + \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} + \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x - 2 \sqrt{2} \right )} + \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x + 2 \sqrt{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                             
  /                                                                                                                             
 |                                                                                                                              
 |   2                ___ /          /         ___\\     ___    /    ___\     ___ /          /    ___\\     ___    /        ___\
 |  x  - 9          \/ 2 *\pi*I + log\-1 + 2*\/ 2 //   \/ 2 *log\2*\/ 2 /   \/ 2 *\pi*I + log\2*\/ 2 //   \/ 2 *log\1 + 2*\/ 2 /
 |  ------ dx = 1 - -------------------------------- - ------------------ + --------------------------- + ----------------------
 |   2                             8                           8                         8                          8           
 |  x  - 8                                                                                                                      
 |                                                                                                                              
/                                                                                                                               
0                                                                                                                               

$$-{{\sqrt{2}\,\log \left(-{{2^{{{5}\over{2}}}-9}\over{7}}\right)-8 }\over{8}}$$

Численный ответ

1.13063761434512

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                   
 |                                                                    
 |  2                    ___    /        ___\     ___    /        ___\
 | x  - 9              \/ 2 *log\x - 2*\/ 2 /   \/ 2 *log\x + 2*\/ 2 /
 | ------ dx = C + x - ---------------------- + ----------------------
 |  2                            8                        8           
 | x  - 8                                                             
 |                                                                    
/                                                                     

$$x-{{\log \left({{2\,x-2^{{{5}\over{2}}}}\over{2\,x+2^{{{5}\over{2}} }}}\right)}\over{2^{{{5}\over{2}}}}}$$

Упростить