Интеграл (x^2-9)/(x^2-8) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |   2       
     |  x  - 9   
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  - 8   
     |           
    /            
    0            
    01x29x28dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x29x28=11x28\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8} = 1 - \frac{1}{x^{2} - 8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (1x28)dx=1x28dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} - 8}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x28=28(1x+22+1x22)\frac{1}{x^{2} - 8} = \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            28(1x+22+1x22)dx=2(1x+22+1x22)dx8\int \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx}{8}

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл 1x22\frac{1}{x - 2 \sqrt{2}} есть log(x22)\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}.

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (1x+22)dx=1x+22dx\int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\, dx

                1. Интеграл 1x+22\frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} есть log(x+22)\log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}.

                Таким образом, результат будет: log(x+22)- \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}

              Результат есть: log(x22)log(x+22)\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}

            Таким образом, результат будет: 2(log(x22)log(x+22))8\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

          Таким образом, результат будет: 2(log(x22)log(x+22))8- \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

        Результат есть: x2(log(x22)log(x+22))8x - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x29x28=x2x289x28\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - \frac{9}{x^{2} - 8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          x2x28=1+8x28\frac{x^{2}}{x^{2} - 8} = 1 + \frac{8}{x^{2} - 8}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            8x28dx=81x28dx\int \frac{8}{x^{2} - 8}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              1x28=28(1x+22+1x22)\frac{1}{x^{2} - 8} = \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              28(1x+22+1x22)dx=2(1x+22+1x22)dx8\int \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx}{8}

              1. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл 1x22\frac{1}{x - 2 \sqrt{2}} есть log(x22)\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}.

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  (1x+22)dx=1x+22dx\int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\, dx

                  1. Интеграл 1x+22\frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} есть log(x+22)\log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}.

                  Таким образом, результат будет: log(x+22)- \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}

                Результат есть: log(x22)log(x+22)\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}

              Таким образом, результат будет: 2(log(x22)log(x+22))8\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

            Таким образом, результат будет: 2(log(x22)log(x+22))\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)

          Результат есть: x+2(log(x22)log(x+22))x + \sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (9x28)dx=91x28dx\int \left(- \frac{9}{x^{2} - 8}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x28=28(1x+22+1x22)\frac{1}{x^{2} - 8} = \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            28(1x+22+1x22)dx=2(1x+22+1x22)dx8\int \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx}{8}

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл 1x22\frac{1}{x - 2 \sqrt{2}} есть log(x22)\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}.

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                (1x+22)dx=1x+22dx\int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\, dx

                1. Интеграл 1x+22\frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} есть log(x+22)\log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}.

                Таким образом, результат будет: log(x+22)- \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}

              Результат есть: log(x22)log(x+22)\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}

            Таким образом, результат будет: 2(log(x22)log(x+22))8\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

          Таким образом, результат будет: 92(log(x22)log(x+22))8- \frac{9 \sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

        Результат есть: x2(log(x22)log(x+22))8x - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

    2. Теперь упростить:

      x+2(log(x22)+log(x+22))8x + \frac{\sqrt{2} \left(- \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} + \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+2(log(x22)+log(x+22))8+constantx + \frac{\sqrt{2} \left(- \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} + \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+2(log(x22)+log(x+22))8+constantx + \frac{\sqrt{2} \left(- \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} + \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.121.16
    Ответ [src]
          ___ /          /         ___\\     ___    /    ___\     ___ /          /    ___\\     ___    /        ___\
        \/ 2 *\pi*I + log\-1 + 2*\/ 2 //   \/ 2 *log\2*\/ 2 /   \/ 2 *\pi*I + log\2*\/ 2 //   \/ 2 *log\1 + 2*\/ 2 /
    1 - -------------------------------- - ------------------ + --------------------------- + ----------------------
                       8                           8                         8                          8           
    2log(22)8+2log(1+22)8+12(log(1+22)+iπ)8+2(log(22)+iπ)8- \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + 1 - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8} + \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8}
    =
    =
          ___ /          /         ___\\     ___    /    ___\     ___ /          /    ___\\     ___    /        ___\
        \/ 2 *\pi*I + log\-1 + 2*\/ 2 //   \/ 2 *log\2*\/ 2 /   \/ 2 *\pi*I + log\2*\/ 2 //   \/ 2 *log\1 + 2*\/ 2 /
    1 - -------------------------------- - ------------------ + --------------------------- + ----------------------
                       8                           8                         8                          8           
    2log(22)8+2log(1+22)8+12(log(1+22)+iπ)8+2(log(22)+iπ)8- \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + 1 - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8} + \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8}
    Численный ответ [src]
    1.13063761434512
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                 
     |                                                                  
     |  2                    ___ /     /        ___\      /        ___\\
     | x  - 9              \/ 2 *\- log\x + 2*\/ 2 / + log\x - 2*\/ 2 //
     | ------ dx = C + x - ---------------------------------------------
     |  2                                        8                      
     | x  - 8                                                           
     |                                                                  
    /                                                                   
    x29x28dx=C+x2(log(x22)log(x+22))8\int \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx = C + x - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}
    График
    Интеграл (x^2-9)/(x^2-8) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/2/a0/d1c4fc4fc08bae77d9284bac9cca9.png