Интеграл (x^2-9)/(x^2-8) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  - 9   
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 8   
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8} = 1 - \frac{1}{x^{2} - 8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2} - 8}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} - 8} = \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx}{8}$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $\frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}$ есть $\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}$.

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\, dx$

                  1. Интеграл $\frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}$ есть $\log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$

               Результат есть: $\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

      Результат есть: $x - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - \frac{9}{x^{2} - 8}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} - 8} = 1 + \frac{8}{x^{2} - 8}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{8}{x^{2} - 8}\, dx = 8 \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} - 8} = \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)$

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx}{8}$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл $\frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}$ есть $\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}$.

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\, dx$

                     1. Интеграл $\frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}$ есть $\log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$.

                     Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$

                  Результат есть: $\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)$

         Результат есть: $x + \sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{9}{x^{2} - 8}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x^{2} - 8}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} - 8} = \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{2}}{8} \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}\right)\, dx}{8}$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $\frac{1}{x - 2 \sqrt{2}}$ есть $\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)}$.

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}\, dx$

                  1. Интеграл $\frac{1}{x + 2 \sqrt{2}}$ есть $\log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$

               Результат есть: $\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{9 \sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

      Результат есть: $x - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

2. Теперь упростить:

   $x + \frac{\sqrt{2} \left(- \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} + \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \frac{\sqrt{2} \left(- \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} + \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \frac{\sqrt{2} \left(- \log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} + \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      ___ /          /         ___\\     ___    /    ___\     ___ /          /    ___\\     ___    /        ___\
    \/ 2 *\pi*I + log\-1 + 2*\/ 2 //   \/ 2 *log\2*\/ 2 /   \/ 2 *\pi*I + log\2*\/ 2 //   \/ 2 *log\1 + 2*\/ 2 /
1 - -------------------------------- - ------------------ + --------------------------- + ----------------------
                   8                           8                         8                          8           

$$- \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + 1 - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8} + \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8}$$

=

=

      ___ /          /         ___\\     ___    /    ___\     ___ /          /    ___\\     ___    /        ___\
    \/ 2 *\pi*I + log\-1 + 2*\/ 2 //   \/ 2 *log\2*\/ 2 /   \/ 2 *\pi*I + log\2*\/ 2 //   \/ 2 *log\1 + 2*\/ 2 /
1 - -------------------------------- - ------------------ + --------------------------- + ----------------------
                   8                           8                         8                          8           

$$- \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} \right)}}{8} + 1 - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8} + \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(2 \sqrt{2} \right)} + i \pi\right)}{8}$$

Численный ответ

1.13063761434512

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                 
 |                                                                  
 |  2                    ___ /     /        ___\      /        ___\\
 | x  - 9              \/ 2 *\- log\x + 2*\/ 2 / + log\x - 2*\/ 2 //
 | ------ dx = C + x - ---------------------------------------------
 |  2                                        8                      
 | x  - 8                                                           
 |                                                                  
/                                                                   

$$\int \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8}\, dx = C + x - \frac{\sqrt{2} \left(\log{\left(x - 2 \sqrt{2} \right)} - \log{\left(x + 2 \sqrt{2} \right)}\right)}{8}$$

График