Интеграл 2^8*sin(x)^(8) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   8    8      
 |  2 *sin (x) dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} 2^{8} \sin^{8}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2^{8} \sin^{8}{\left(x \right)}\, dx = 256 \int \sin^{8}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{8}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{4}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. пусть $u = 8 x$.

                           Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

            2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                  1. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

                     Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Метод #2

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

                     1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                        Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                  1. пусть $u = 2 x$.

                     Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Метод #3

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

                     1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                        Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                  1. пусть $u = 2 x$.

                     Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         Результат есть: $\frac{35 x}{128} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16} - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos^{4}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. пусть $u = 8 x$.

                           Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

            2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

               Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         Результат есть: $\frac{35 x}{128} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{7 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

   Таким образом, результат будет: $70 x + \frac{32 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 64 \sin{\left(2 x \right)} + 14 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $70 x + \frac{32 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 64 \sin{\left(2 x \right)} + 14 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$70 x + \frac{32 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 64 \sin{\left(2 x \right)} + 14 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                                                   3                    5          
                              7             140*sin (1)*cos(1)   112*sin (1)*cos(1)
70 - 70*cos(1)*sin(1) - 32*sin (1)*cos(1) - ------------------ - ------------------
                                                    3                    3         

$$- 70 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{140 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} - \frac{112 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} - 32 \sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 70$$

=

=

                                                   3                    5          
                              7             140*sin (1)*cos(1)   112*sin (1)*cos(1)
70 - 70*cos(1)*sin(1) - 32*sin (1)*cos(1) - ------------------ - ------------------
                                                    3                    3         

$$- 70 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{140 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} - \frac{112 \sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{3} - 32 \sin^{7}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 70$$

Численный ответ

9.47655672030381

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                              
 |                                                                         3     
 |  8    8                                                sin(8*x)   32*sin (2*x)
 | 2 *sin (x) dx = C - 64*sin(2*x) + 14*sin(4*x) + 70*x + -------- + ------------
 |                                                           4            3      
/                                                                                

$$\int 2^{8} \sin^{8}{\left(x \right)}\, dx = C + 70 x + \frac{32 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 64 \sin{\left(2 x \right)} + 14 \sin{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{4}$$

График