Интеграл cos(2)^(7)*x*sin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |     7                 
 |  cos (2)*x*sin(2*x) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} x \cos^{7}{\left (2 \right )} \sin{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x \cos^{7}{\left (2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \cos^{7}{\left (2 \right )}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{2} \cos^{7}{\left (2 \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \cos^{7}{\left (2 \right )} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} \cos^{7}{\left (2 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \left(- x \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right) \cos^{7}{\left (2 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \left(- x \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right) \cos^{7}{\left (2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \left(- x \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right) \cos^{7}{\left (2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                    
  /                                                    
 |                                                     
 |     7                       7    /  cos(2)   sin(2)\
 |  cos (2)*x*sin(2*x) dx = cos (2)*|- ------ + ------|
 |                                  \    2        4   /
/                                                      
0                                                      

$${{\cos ^72\,\left(\sin 2-2\,\cos 2\right)}\over{4}}$$

Численный ответ

-0.000941049326792067

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                 
 |                                7                    7            
 |    7                        cos (2)*sin(2*x)   x*cos (2)*cos(2*x)
 | cos (2)*x*sin(2*x) dx = C + ---------------- - ------------------
 |                                    4                   2         
/                                                                   

$${{\cos ^72\,\left(\sin \left(2\,x\right)-2\,x\,\cos \left(2\,x \right)\right)}\over{4}}$$