Интеграл sin(5*x/2)^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     2/5*x\   
 |  sin |---| dx
 |      \ 2 /   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (\frac{5 x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (\frac{5 x}{2} \right )} = \sin^{2}{\left (\frac{5 x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (\frac{5 x}{2} \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (5 x \right )} + \frac{1}{2}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (5 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (5 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 5 x$.

            Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{5} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{5} \sin{\left (5 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{10} \sin{\left (5 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{10} \sin{\left (5 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (\frac{5 x}{2} \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (5 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (5 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (5 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 5 x$.

            Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{5} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{5} \sin{\left (5 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{10} \sin{\left (5 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{10} \sin{\left (5 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{1}{10} \sin{\left (5 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{1}{10} \sin{\left (5 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

0.595892427466314

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |    2/5*x\          x   sin(5*x)
 | sin |---| dx = C + - - --------
 |     \ 2 /          2      10   
 |                                
/                                 

$${{{{5\,x}\over{2}}-{{\sin \left(5\,x\right)}\over{2}}}\over{5}}$$