Интеграл log(1+9*x^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |     /       2\   
     |  log\1 + 9*x / dx
     |                  
    /                   
    0                   
    01log(9x2+1)dx\int_{0}^{1} \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=log(9x2+1)u{\left (x \right )} = \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

      Затем du(x)=18x9x2+1\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 1} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      18x29x2+1dx=18x29x2+1dx\int \frac{18 x^{2}}{9 x^{2} + 1}\, dx = 18 \int \frac{x^{2}}{9 x^{2} + 1}\, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x29x2+1=19181x2+9\frac{x^{2}}{9 x^{2} + 1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{81 x^{2} + 9}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          19dx=x9\int \frac{1}{9}\, dx = \frac{x}{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          181x2+9dx=1919x2+1dx\int - \frac{1}{81 x^{2} + 9}\, dx = - \frac{1}{9} \int \frac{1}{9 x^{2} + 1}\, dx

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            13u2+3du\int \frac{1}{3 u^{2} + 3}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              13u2+3dx=131u2+1dx\int \frac{1}{3 u^{2} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx

              1. Интеграл 1u2+1\frac{1}{u^{2} + 1} есть atan(u)\operatorname{atan}{\left (u \right )}.

              Таким образом, результат будет: 13atan(u)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13atan(3x)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 127atan(3x)- \frac{1}{27} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}

        Результат есть: x9127atan(3x)\frac{x}{9} - \frac{1}{27} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}

      Таким образом, результат будет: 2x23atan(3x)2 x - \frac{2}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      xlog(9x2+1)2x+23atan(3x)+constantx \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )} - 2 x + \frac{2}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xlog(9x2+1)2x+23atan(3x)+constantx \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )} - 2 x + \frac{2}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
      1                                            
      /                                            
     |                                             
     |     /       2\           2*atan(3)          
     |  log\1 + 9*x / dx = -2 + --------- + log(10)
     |                              3              
    /                                              
    0                                              
    6log10+4arctan3126{{6\,\log 10+4\,\arctan 3-12}\over{6}}
    Численный ответ [src]
    1.13528227459288
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                          
     |                                                           
     |    /       2\                2*atan(3*x)        /       2\
     | log\1 + 9*x / dx = C - 2*x + ----------- + x*log\1 + 9*x /
     |                                   3                       
    /                                                            
    xlog(9x2+1)18(x9arctan(3x)27)x\,\log \left(9\,x^2+1\right)-18\,\left({{x}\over{9}}-{{\arctan \left(3\,x\right)}\over{27}}\right)