Интеграл log(1+9*x^2) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |     /       2\   
 |  log\1 + 9*x / dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{18 x^{2}}{9 x^{2} + 1}\, dx = 18 \int \frac{x^{2}}{9 x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{9 x^{2} + 1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{81 x^{2} + 9}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{9}\, dx = \frac{x}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{81 x^{2} + 9}\, dx = - \frac{1}{9} \int \frac{1}{9 x^{2} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{2} + 3}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{3 u^{2} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{27} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{x}{9} - \frac{1}{27} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - \frac{2}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )} - 2 x + \frac{2}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )} - 2 x + \frac{2}{3} \operatorname{atan}{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                                             
 |     /       2\           2*atan(3)          
 |  log\1 + 9*x / dx = -2 + --------- + log(10)
 |                              3              
/                                              
0                                              

$${{6\,\log 10+4\,\arctan 3-12}\over{6}}$$

Численный ответ

1.13528227459288

Ответ (Неопределённый)

  /                                                          
 |                                                           
 |    /       2\                2*atan(3*x)        /       2\
 | log\1 + 9*x / dx = C - 2*x + ----------- + x*log\1 + 9*x /
 |                                   3                       
/                                                            

$$x\,\log \left(9\,x^2+1\right)-18\,\left({{x}\over{9}}-{{\arctan \left(3\,x\right)}\over{27}}\right)$$