Интеграл log(1+9*x^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                 
      /                 
     |                  
     |     /       2\   
     |  log\1 + 9*x / dx
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} \log{\left (9 x^{2} + 1 \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

      Таким образом, результат будет:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                                            
      /                                            
     |                                             
     |     /       2\           2*atan(3)          
     |  log\1 + 9*x / dx = -2 + --------- + log(10)
     |                              3              
    /                                              
    0                                              
    $${{6\,\log 10+4\,\arctan 3-12}\over{6}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    1.13528227459288
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                          
     |                                                           
     |    /       2\                2*atan(3*x)        /       2\
     | log\1 + 9*x / dx = C - 2*x + ----------- + x*log\1 + 9*x /
     |                                   3                       
    /                                                            
    $$x\,\log \left(9\,x^2+1\right)-18\,\left({{x}\over{9}}-{{\arctan \left(3\,x\right)}\over{27}}\right)$$