Используем интегрирование по частям:
∫udv=uv−∫vdu
пусть u(x)=log(9x2+1) и пусть dv(x)=1 dx.
Затем du(x)=9x2+118x dx.
Чтобы найти v(x):
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
∫1dx=x
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫9x2+118x2dx=18∫9x2+1x2dx
Перепишите подынтегральное выражение:
9x2+1x2=91−81x2+91
Интегрируем почленно:
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
∫91dx=9x
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫−81x2+91dx=−91∫9x2+11dx
пусть u=3x.
Тогда пусть du=3dx и подставим 3du:
∫3u2+31du
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫3u2+31dx=31∫u2+11dx
Интеграл u2+11 есть atan(u).
Таким образом, результат будет: 31atan(u)
Если сейчас заменить u ещё в:
31atan(3x)
Таким образом, результат будет: −271atan(3x)
Результат есть: 9x−271atan(3x)
Таким образом, результат будет: 2x−32atan(3x)
Добавляем постоянную интегрирования:
xlog(9x2+1)−2x+32atan(3x)+constant