Интеграл 1/sqrt(2*x+1) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |         1        
 |  1*----------- dx
 |      _________   
 |    \/ 2*x + 1    
 |                  
/                   
0                   

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{2 x + 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sqrt{2 x + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$

   2. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $\sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sqrt{2 x + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\sqrt{2 x + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\sqrt{2 x + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\sqrt{2 x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       ___
-1 + \/ 3 

$$-1 + \sqrt{3}$$

=

=

       ___
-1 + \/ 3 

$$-1 + \sqrt{3}$$

Численный ответ

0.732050807568877

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                   
 |        1                 _________
 | 1*----------- dx = C + \/ 1 + 2*x 
 |     _________                     
 |   \/ 2*x + 1                      
 |                                   
/                                    

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}\, dx = C + \sqrt{2 x + 1}$$

График