Интеграл x/sqrt(9-8*x^2) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |        x         
 |  ------------- dx
 |     __________   
 |    /        2    
 |  \/  9 - 8*x     
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{- 8 x^{2} + 9}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{- 8 x^{2} + 9}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{8 x dx}{\sqrt{- 8 x^{2} + 9}}$ и подставим $- \frac{du}{8}$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1\, du = - \frac{1}{8} \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \sqrt{- 8 x^{2} + 9}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\sqrt{- 8 x^{2} + 9}} = \frac{x}{\sqrt{- 8 x^{2} + 9}}$

   2. пусть $u = - 8 x^{2} + 9$.

      Тогда пусть $du = - 16 x dx$ и подставим $- \frac{du}{16}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{16} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{u}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \sqrt{- 8 x^{2} + 9}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{8} \sqrt{- 8 x^{2} + 9}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{8} \sqrt{- 8 x^{2} + 9}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{8} \sqrt{- 8 x^{2} + 9}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |        x               
 |  ------------- dx = 1/4
 |     __________         
 |    /        2          
 |  \/  9 - 8*x           
 |                        
/                         
0                         

$${{1}\over{4}}$$

Численный ответ

0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                          __________
 |                          /        2 
 |       x                \/  9 - 8*x  
 | ------------- dx = C - -------------
 |    __________                8      
 |   /        2                        
 | \/  9 - 8*x                         
 |                                     
/                                      

$$-{{\sqrt{9-8\,x^2}}\over{8}}$$

Упростить