Интеграл sin(3*x)^(4)*cos(3*x)^(2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |     4         2        
     |  sin (3*x)*cos (3*x) dx
     |                        
    /                         
    0                         
    01sin4(3x)cos2(3x)dx\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (3 x \right )} \cos^{2}{\left (3 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      sin4(3x)cos2(3x)=(12cos(6x)+12)2(12cos(6x)+12)\sin^{4}{\left (3 x \right )} \cos^{2}{\left (3 x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=6xu = 6 x.

        Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим dudu:

        148cos3(u)148cos2(u)148cos(u)+148du\int \frac{1}{48} \cos^{3}{\left (u \right )} - \frac{1}{48} \cos^{2}{\left (u \right )} - \frac{1}{48} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{48}\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            148cos3(u)du=148cos3(u)du\int \frac{1}{48} \cos^{3}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{48} \int \cos^{3}{\left (u \right )}\, du

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos3(u)=(sin2(u)+1)cos(u)\cos^{3}{\left (u \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (u \right )} + 1\right) \cos{\left (u \right )}

            2. пусть u=sin(u)u = \sin{\left (u \right )}.

              Тогда пусть du=cos(u)dudu = \cos{\left (u \right )} du и подставим dudu:

              u2+1du\int - u^{2} + 1\, du

              1. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  u2du=u2du\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                  1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                    u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Таким образом, результат будет: u33- \frac{u^{3}}{3}

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  1du=u\int 1\, du = u

                Результат есть: u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              13sin3(u)+sin(u)- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 1144sin3(u)+148sin(u)- \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{48} \sin{\left (u \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            148cos2(u)du=148cos2(u)du\int - \frac{1}{48} \cos^{2}{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{48} \int \cos^{2}{\left (u \right )}\, du

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos2(u)=12cos(2u)+12\cos^{2}{\left (u \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )} + \frac{1}{2}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                12cos(2u)du=12cos(2u)du\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 u \right )}\, du

                1. пусть u=2uu = 2 u.

                  Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                  cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    cos(u)du=12cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                    Таким образом, результат будет: 12sin(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  12sin(2u)\frac{1}{2} \sin{\left (2 u \right )}

                Таким образом, результат будет: 14sin(2u)\frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              Результат есть: u2+14sin(2u)\frac{u}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}

            Таким образом, результат будет: u961192sin(2u)- \frac{u}{96} - \frac{1}{192} \sin{\left (2 u \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            148cos(u)du=148cos(u)du\int - \frac{1}{48} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{48} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 148sin(u)- \frac{1}{48} \sin{\left (u \right )}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            148du=u48\int \frac{1}{48}\, du = \frac{u}{48}

          Результат есть: u961144sin3(u)1192sin(2u)\frac{u}{96} - \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (u \right )} - \frac{1}{192} \sin{\left (2 u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x161144sin3(6x)1192sin(12x)\frac{x}{16} - \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{192} \sin{\left (12 x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (12cos(6x)+12)2(12cos(6x)+12)=18cos3(6x)18cos2(6x)18cos(6x)+18\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{8} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{8}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          18cos3(6x)dx=18cos3(6x)dx\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (6 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (6 x \right )}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos3(6x)=(sin2(6x)+1)cos(6x)\cos^{3}{\left (6 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (6 x \right )} + 1\right) \cos{\left (6 x \right )}

          2. пусть u=sin(6x)u = \sin{\left (6 x \right )}.

            Тогда пусть du=6cos(6x)dxdu = 6 \cos{\left (6 x \right )} dx и подставим dudu:

            u26+16du\int - \frac{u^{2}}{6} + \frac{1}{6}\, du

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                u26du=16u2du\int - \frac{u^{2}}{6}\, du = - \frac{1}{6} \int u^{2}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                  u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Таким образом, результат будет: u318- \frac{u^{3}}{18}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                16du=u6\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}

              Результат есть: u318+u6- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            118sin3(6x)+16sin(6x)- \frac{1}{18} \sin^{3}{\left (6 x \right )} + \frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 1144sin3(6x)+148sin(6x)- \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} + \frac{1}{48} \sin{\left (6 x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          18cos2(6x)dx=18cos2(6x)dx\int - \frac{1}{8} \cos^{2}{\left (6 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos^{2}{\left (6 x \right )}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            cos2(6x)=12cos(12x)+12\cos^{2}{\left (6 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (12 x \right )} + \frac{1}{2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              12cos(12x)dx=12cos(12x)dx\int \frac{1}{2} \cos{\left (12 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (12 x \right )}\, dx

              1. пусть u=12xu = 12 x.

                Тогда пусть du=12dxdu = 12 dx и подставим du12\frac{du}{12}:

                cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)du=112cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{12} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                  Таким образом, результат будет: 112sin(u)\frac{1}{12} \sin{\left (u \right )}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                112sin(12x)\frac{1}{12} \sin{\left (12 x \right )}

              Таким образом, результат будет: 124sin(12x)\frac{1}{24} \sin{\left (12 x \right )}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            Результат есть: x2+124sin(12x)\frac{x}{2} + \frac{1}{24} \sin{\left (12 x \right )}

          Таким образом, результат будет: x161192sin(12x)- \frac{x}{16} - \frac{1}{192} \sin{\left (12 x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          18cos(6x)dx=18cos(6x)dx\int - \frac{1}{8} \cos{\left (6 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos{\left (6 x \right )}\, dx

          1. пусть u=6xu = 6 x.

            Тогда пусть du=6dxdu = 6 dx и подставим du6\frac{du}{6}:

            cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)du=16cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{6} \int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 16sin(u)\frac{1}{6} \sin{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            16sin(6x)\frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}

          Таким образом, результат будет: 148sin(6x)- \frac{1}{48} \sin{\left (6 x \right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

        Результат есть: x161144sin3(6x)1192sin(12x)\frac{x}{16} - \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{192} \sin{\left (12 x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x161144sin3(6x)1192sin(12x)+constant\frac{x}{16} - \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{192} \sin{\left (12 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x161144sin3(6x)1192sin(12x)+constant\frac{x}{16} - \frac{1}{144} \sin^{3}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{192} \sin{\left (12 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10101-1
    Ответ [src]
      1                                                                              
      /                                                                              
     |                                                   3                5          
     |     4         2           1    cos(3)*sin(3)   sin (3)*cos(3)   sin (3)*cos(3)
     |  sin (3*x)*cos (3*x) dx = -- - ------------- - -------------- + --------------
     |                           16         48              72               18      
    /                                                                                
    0                                                                                
    3sin12+4sin3636576-{{3\,\sin 12+4\,\sin ^36-36}\over{576}}
    Численный ответ [src]
    0.065446142364282
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                       
     |                                 3                      
     |    4         2               sin (6*x)   sin(12*x)   x 
     | sin (3*x)*cos (3*x) dx = C - --------- - --------- + --
     |                                 144         192      16
    /                                                         
    6xsin(12x)24sin3(6x)624{{{{6\,x-{{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}-{{\sin ^3 \left(6\,x\right)}\over{6}}}\over{24}}