Интеграл x/(x^2+2*x+2) (dx)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
1 / | | x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 2 | / 0
$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дан интеграл:
/ | | x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 2 | /
Перепишем подинтегральную функцию
/ 2*x + 2 \
|------------|
| 2 |
x \x + 2*x + 2/ 1
------------ = -------------- - -------------
2 2 2
x + 2*x + 2 (-x - 1) + 1или
/ | | x | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 2 | /
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2 /
| |
/ | 1
------------------ - | ------------- dx
2 | 2
| (-x - 1) + 1
|
/ В интеграле
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
|
/
------------------
2 сделаем замену
2 u = x + 2*x
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ----- du
| 2 + u
|
/ log(2 + u)
----------- = ----------
2 2 делаем обратную замену
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
| / 2 \
/ log\2 + x + 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 В интеграле
/ | | 1 - | ------------- dx | 2 | (-x - 1) + 1 | /
сделаем замену
v = -1 - x
тогда
интеграл =
/ | | 1 - | ------ dv = -atan(v) | 2 | 1 + v | /
делаем обратную замену
/ | | 1 - | ------------- dx = -atan(1 + x) | 2 | (-x - 1) + 1 | /
Решением будет:
/ 2 \
log\2 + x + 2*x/
C + ----------------- - atan(1 + x)
2
График
[LaTeX]
Ответ
[LaTeX]
1 / | | x log(5) log(2) pi | ------------ dx = ------ - atan(2) - ------ + -- | 2 2 2 4 | x + 2*x + 2 | / 0
$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx = - \operatorname{atan}{\left (2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )} + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log{\left (5 \right )}$$
Численный ответ
[LaTeX]
0.136394811540435