Интеграл x/(x^2+2*x+2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                
      /                
     |                 
     |       x         
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  + 2*x + 2   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |      x         
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 2*x + 2   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
                   /  2*x + 2   \                
                   |------------|                
                   | 2          |                
         x         \x  + 2*x + 2/         1      
    ------------ = -------------- - -------------
     2                   2                  2    
    x  + 2*x + 2                    (-x - 1)  + 1
    или
      /                 
     |                  
     |      x           
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  + 2*x + 2     
     |                  
    /                   
      
      /                                     
     |                                      
     |   2*x + 2                            
     | ------------ dx                      
     |  2                                   
     | x  + 2*x + 2        /                
     |                    |                 
    /                     |       1         
    ------------------ -  | ------------- dx
            2             |         2       
                          | (-x - 1)  + 1   
                          |                 
                         /                  
    В интеграле
      /               
     |                
     |   2*x + 2      
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 2*x + 2   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    сделаем замену
         2      
    u = x  + 2*x
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du             
     | 2 + u                
     |                      
    /             log(2 + u)
    ----------- = ----------
         2            2     
    делаем обратную замену
      /                                   
     |                                    
     |   2*x + 2                          
     | ------------ dx                    
     |  2                                 
     | x  + 2*x + 2                       
     |                      /     2      \
    /                    log\2 + x  + 2*x/
    ------------------ = -----------------
            2                    2        
    В интеграле
       /                
      |                 
      |       1         
    - | ------------- dx
      |         2       
      | (-x - 1)  + 1   
      |                 
     /                  
    сделаем замену
    v = -1 - x
    тогда
    интеграл =
       /                    
      |                     
      |   1                 
    - | ------ dv = -atan(v)
      |      2              
      | 1 + v               
      |                     
     /                      
    делаем обратную замену
       /                               
      |                                
      |       1                        
    - | ------------- dx = -atan(1 + x)
      |         2                      
      | (-x - 1)  + 1                  
      |                                
     /                                 
    Решением будет:
           /     2      \              
        log\2 + x  + 2*x/              
    C + ----------------- - atan(1 + x)
                2                      
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                 
      /                                                 
     |                                                  
     |       x            log(5)             log(2)   pi
     |  ------------ dx = ------ - atan(2) - ------ + --
     |   2                  2                  2      4 
     |  x  + 2*x + 2                                    
     |                                                  
    /                                                   
    0                                                   
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx = - \operatorname{atan}{\left (2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )} + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log{\left (5 \right )}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.136394811540435