Дан интеграл:
/
|
| x
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
|
/
Перепишем подинтегральную функцию
/ 2*x + 2 \
|------------|
| 2 |
x \x + 2*x + 2/ 1
------------ = -------------- - -------------
2 2 2
x + 2*x + 2 (-x - 1) + 1
или
/
|
| x
| ------------ dx
| 2 =
| x + 2*x + 2
|
/
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2 /
| |
/ | 1
------------------ - | ------------- dx
2 | 2
| (-x - 1) + 1
|
/
В интеграле
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
|
/
------------------
2
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ----- du
| 2 + u
|
/ log(2 + u)
----------- = ----------
2 2
делаем обратную замену
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
| / 2 \
/ log\2 + x + 2*x/
------------------ = -----------------
2 2
В интеграле
/
|
| 1
- | ------------- dx
| 2
| (-x - 1) + 1
|
/
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
- | ------ dv = -atan(v)
| 2
| 1 + v
|
/
делаем обратную замену
/
|
| 1
- | ------------- dx = -atan(1 + x)
| 2
| (-x - 1) + 1
|
/
Решением будет:
/ 2 \
log\2 + x + 2*x/
C + ----------------- - atan(1 + x)
2