Интеграл (2*x^4+17*x^3+40*x^2+37*x ... +36)/((x+1)*(x^2+8*x+15)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                                    
      /                                    
     |                                     
     |     4       3       2               
     |  2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36   
     |  -------------------------------- dx
     |              / 2           \        
     |      (x + 1)*\x  + 8*x + 15/        
     |                                     
    /                                      
    0                                      
    012x4+17x3+40x2+37x+36(x+1)(x2+8x+15)dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x4+17x3+40x2+37x+36(x+1)(x2+8x+15)=2x13x+5+3x+3+3x+1\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 5} + \frac{3}{x + 3} + \frac{3}{x + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xdx=2xdx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x2x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          (1)dx=x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (3x+5)dx=31x+5dx\int \left(- \frac{3}{x + 5}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 5}\, dx

          1. пусть u=x+5u = x + 5.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+5)- 3 \log{\left(x + 5 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x+3dx=31x+3dx\int \frac{3}{x + 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

          1. пусть u=x+3u = x + 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+3)3 \log{\left(x + 3 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x+1dx=31x+1dx\int \frac{3}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. пусть u=x+1u = x + 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+1)3 \log{\left(x + 1 \right)}

        Результат есть: x2x+3log(x+1)+3log(x+3)3log(x+5)x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x4+17x3+40x2+37x+36(x+1)(x2+8x+15)=2x4+17x3+40x2+37x+36x3+9x2+23x+15\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = \frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x4+17x3+40x2+37x+36x3+9x2+23x+15=2x13x+5+3x+3+3x+1\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 5} + \frac{3}{x + 3} + \frac{3}{x + 1}

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xdx=2xdx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x2x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          (1)dx=x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (3x+5)dx=31x+5dx\int \left(- \frac{3}{x + 5}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 5}\, dx

          1. пусть u=x+5u = x + 5.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+5)- 3 \log{\left(x + 5 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x+3dx=31x+3dx\int \frac{3}{x + 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx

          1. пусть u=x+3u = x + 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+3)3 \log{\left(x + 3 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x+1dx=31x+1dx\int \frac{3}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. пусть u=x+1u = x + 1.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Таким образом, результат будет: 3log(x+1)3 \log{\left(x + 1 \right)}

        Результат есть: x2x+3log(x+1)+3log(x+3)3log(x+5)x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x4+17x3+40x2+37x+36(x+1)(x2+8x+15)=2x4x3+9x2+23x+15+17x3x3+9x2+23x+15+40x2x3+9x2+23x+15+37xx3+9x2+23x+15+36x3+9x2+23x+15\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{17 x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{40 x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{37 x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2x4x3+9x2+23x+15dx=2x4x3+9x2+23x+15dx\int \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 2 \int \frac{x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x4x3+9x2+23x+15=x9+6258(x+5)814(x+3)+18(x+1)\frac{x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = x - 9 + \frac{625}{8 \left(x + 5\right)} - \frac{81}{4 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              (9)dx=9x\int \left(-9\right)\, dx = - 9 x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              6258(x+5)dx=6251x+5dx8\int \frac{625}{8 \left(x + 5\right)}\, dx = \frac{625 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+5u = x + 5.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

              Таким образом, результат будет: 625log(x+5)8\frac{625 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (814(x+3))dx=811x+3dx4\int \left(- \frac{81}{4 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{81 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}

              1. пусть u=x+3u = x + 3.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Таким образом, результат будет: 81log(x+3)4- \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              18(x+1)dx=1x+1dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+1u = x + 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+1)8\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}

            Результат есть: x229x+log(x+1)881log(x+3)4+625log(x+5)8\frac{x^{2}}{2} - 9 x + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} + \frac{625 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: x218x+log(x+1)481log(x+3)2+625log(x+5)4x^{2} - 18 x + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{2} + \frac{625 \log{\left(x + 5 \right)}}{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          17x3x3+9x2+23x+15dx=17x3x3+9x2+23x+15dx\int \frac{17 x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 17 \int \frac{x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x3x3+9x2+23x+15=11258(x+5)+274(x+3)18(x+1)\frac{x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = 1 - \frac{125}{8 \left(x + 5\right)} + \frac{27}{4 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1dx=x\int 1\, dx = x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (1258(x+5))dx=1251x+5dx8\int \left(- \frac{125}{8 \left(x + 5\right)}\right)\, dx = - \frac{125 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+5u = x + 5.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

              Таким образом, результат будет: 125log(x+5)8- \frac{125 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              274(x+3)dx=271x+3dx4\int \frac{27}{4 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{27 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}

              1. пусть u=x+3u = x + 3.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Таким образом, результат будет: 27log(x+3)4\frac{27 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (18(x+1))dx=1x+1dx8\int \left(- \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+1u = x + 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+1)8- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}

            Результат есть: xlog(x+1)8+27log(x+3)4125log(x+5)8x - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{27 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{125 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: 17x17log(x+1)8+459log(x+3)42125log(x+5)817 x - \frac{17 \log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{459 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{2125 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          40x2x3+9x2+23x+15dx=40x2x3+9x2+23x+15dx\int \frac{40 x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 40 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x2x3+9x2+23x+15=258(x+5)94(x+3)+18(x+1)\frac{x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = \frac{25}{8 \left(x + 5\right)} - \frac{9}{4 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              258(x+5)dx=251x+5dx8\int \frac{25}{8 \left(x + 5\right)}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+5u = x + 5.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

              Таким образом, результат будет: 25log(x+5)8\frac{25 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (94(x+3))dx=91x+3dx4\int \left(- \frac{9}{4 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}

              1. пусть u=x+3u = x + 3.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Таким образом, результат будет: 9log(x+3)4- \frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              18(x+1)dx=1x+1dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+1u = x + 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+1)8\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}

            Результат есть: log(x+1)89log(x+3)4+25log(x+5)8\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} + \frac{25 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: 5log(x+1)90log(x+3)+125log(x+5)5 \log{\left(x + 1 \right)} - 90 \log{\left(x + 3 \right)} + 125 \log{\left(x + 5 \right)}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          37xx3+9x2+23x+15dx=37xx3+9x2+23x+15dx\int \frac{37 x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 37 \int \frac{x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            xx3+9x2+23x+15=58(x+5)+34(x+3)18(x+1)\frac{x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = - \frac{5}{8 \left(x + 5\right)} + \frac{3}{4 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (58(x+5))dx=51x+5dx8\int \left(- \frac{5}{8 \left(x + 5\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+5u = x + 5.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

              Таким образом, результат будет: 5log(x+5)8- \frac{5 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              34(x+3)dx=31x+3dx4\int \frac{3}{4 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}

              1. пусть u=x+3u = x + 3.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Таким образом, результат будет: 3log(x+3)4\frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (18(x+1))dx=1x+1dx8\int \left(- \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+1u = x + 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+1)8- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}

            Результат есть: log(x+1)8+3log(x+3)45log(x+5)8- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{5 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: 37log(x+1)8+111log(x+3)4185log(x+5)8- \frac{37 \log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{111 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{185 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          36x3+9x2+23x+15dx=361x3+9x2+23x+15dx\int \frac{36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 36 \int \frac{1}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x3+9x2+23x+15=18(x+5)14(x+3)+18(x+1)\frac{1}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = \frac{1}{8 \left(x + 5\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              18(x+5)dx=1x+5dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 5\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+5u = x + 5.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+5)\log{\left(x + 5 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+5)8\frac{\log{\left(x + 5 \right)}}{8}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (14(x+3))dx=1x+3dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}

              1. пусть u=x+3u = x + 3.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+3)4- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{4}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              18(x+1)dx=1x+1dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}

              1. пусть u=x+1u = x + 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+1)8\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}

            Результат есть: log(x+1)8log(x+3)4+log(x+5)8\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 5 \right)}}{8}

          Таким образом, результат будет: 9log(x+1)29log(x+3)+9log(x+5)2\frac{9 \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 9 \log{\left(x + 3 \right)} + \frac{9 \log{\left(x + 5 \right)}}{2}

        Результат есть: x2x+3log(x+1)+3log(x+3)3log(x+5)x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2x+3log(x+1)+3log(x+3)3log(x+5)+constantx^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2x+3log(x+1)+3log(x+3)3log(x+5)+constantx^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
    Ответ [src]
    -3*log(3) - 3*log(6) + 3*log(5) + 3*log(8)
    3log(6)3log(3)+3log(5)+3log(8)- 3 \log{\left(6 \right)} - 3 \log{\left(3 \right)} + 3 \log{\left(5 \right)} + 3 \log{\left(8 \right)}
    =
    =
    -3*log(3) - 3*log(6) + 3*log(5) + 3*log(8)
    3log(6)3log(3)+3log(5)+3log(8)- 3 \log{\left(6 \right)} - 3 \log{\left(3 \right)} + 3 \log{\left(5 \right)} + 3 \log{\left(8 \right)}
    Численный ответ [src]
    2.39552308865331
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                             
     |                                                                                              
     |    4       3       2                                                                         
     | 2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36           2                                                 
     | -------------------------------- dx = C + x  - x - 3*log(5 + x) + 3*log(1 + x) + 3*log(3 + x)
     |             / 2           \                                                                  
     |     (x + 1)*\x  + 8*x + 15/                                                                  
     |                                                                                              
    /                                                                                               
    2x4+17x3+40x2+37x+36(x+1)(x2+8x+15)dx=C+x2x+3log(x+1)+3log(x+3)3log(x+5)\int \frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\, dx = C + x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}
    График
    Интеграл (2*x^4+17*x^3+40*x^2+37*x ... +36)/((x+1)*(x^2+8*x+15)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/f/f7/10c5c963b162aaa4ee6b66f2594a3.png