Интеграл (2*x^4+17*x^3+40*x^2+37*x+36)/((x+1)*(x^2+8*x+15)) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |     4       3       2               
 |  2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36   
 |  -------------------------------- dx
 |              / 2           \        
 |      (x + 1)*\x  + 8*x + 15/        
 |                                     
/                                      
0                                      

$$\int_{0}^{1} \frac{37 x + 40 x^{2} + 2 x^{4} + 17 x^{3} + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{37 x + 40 x^{2} + 2 x^{4} + 17 x^{3} + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 5} + \frac{3}{x + 3} + \frac{3}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{3}{x + 5}\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

         1. пусть $u = x + 5$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 5 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (x + 5 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x + 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x^{2} - x + 3 \log{\left (x + 1 \right )} + 3 \log{\left (x + 3 \right )} - 3 \log{\left (x + 5 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{37 x + 40 x^{2} + 2 x^{4} + 17 x^{3} + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{17 x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{40 x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{37 x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 2 \int \frac{x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = x - 9 + \frac{625}{8 x + 40} - \frac{81}{4 x + 12} + \frac{1}{8 x + 8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -9\, dx = - 9 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{625}{8 x + 40}\, dx = \frac{625}{8} \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{625}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{81}{4 x + 12}\, dx = - \frac{81}{4} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{81}{4} \log{\left (x + 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 x + 8}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 9 x + \frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{81}{4} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{625}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2} - 18 x + \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{81}{2} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{625}{4} \log{\left (x + 5 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{17 x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 17 \int \frac{x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = 1 - \frac{125}{8 x + 40} + \frac{27}{4 x + 12} - \frac{1}{8 x + 8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{125}{8 x + 40}\, dx = - \frac{125}{8} \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{125}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{27}{4 x + 12}\, dx = \frac{27}{4} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{27}{4} \log{\left (x + 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{8 x + 8}\, dx = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $x - \frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{27}{4} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{125}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $17 x - \frac{17}{8} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{459}{4} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{2125}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{40 x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 40 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = \frac{25}{8 x + 40} - \frac{9}{4 x + 12} + \frac{1}{8 x + 8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{25}{8 x + 40}\, dx = \frac{25}{8} \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{25}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{9}{4 x + 12}\, dx = - \frac{9}{4} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{9}{4} \log{\left (x + 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 x + 8}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{9}{4} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{25}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left (x + 1 \right )} - 90 \log{\left (x + 3 \right )} + 125 \log{\left (x + 5 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{37 x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 37 \int \frac{x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = - \frac{5}{8 x + 40} + \frac{3}{4 x + 12} - \frac{1}{8 x + 8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{5}{8 x + 40}\, dx = - \frac{5}{8} \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{4 x + 12}\, dx = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \log{\left (x + 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{8 x + 8}\, dx = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{3}{4} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{5}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{37}{8} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{111}{4} \log{\left (x + 3 \right )} - \frac{185}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 36 \int \frac{1}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = \frac{1}{8 x + 40} - \frac{1}{4 x + 12} + \frac{1}{8 x + 8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 x + 40}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 5 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{4 x + 12}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x + 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 x + 8}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{1}{8} \log{\left (x + 5 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{9}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - 9 \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{9}{2} \log{\left (x + 5 \right )}$

      Результат есть: $x^{2} - x + 3 \log{\left (x + 1 \right )} + 3 \log{\left (x + 3 \right )} - 3 \log{\left (x + 5 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} - x + 3 \log{\left (x + 1 \right )} + 3 \log{\left (x + 3 \right )} - 3 \log{\left (x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{2} - x + 3 \log{\left (x + 1 \right )} + 3 \log{\left (x + 3 \right )} - 3 \log{\left (x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                                                                 
  /                                                                                 
 |                                                                                  
 |     4       3       2                                                            
 |  2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36                                                
 |  -------------------------------- dx = -3*log(3) - 3*log(6) + 3*log(5) + 3*log(8)
 |              / 2           \                                                     
 |      (x + 1)*\x  + 8*x + 15/                                                     
 |                                                                                  
/                                                                                   
0                                                                                   

$$-3\,\log 6+3\,\log 5+3\,\log 4-3\,\log 3+3\,\log 2$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

2.39552308865331

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                                                             
 |                                                                                              
 |    4       3       2                                                                         
 | 2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36           2                                                 
 | -------------------------------- dx = C + x  - x - 3*log(5 + x) + 3*log(1 + x) + 3*log(3 + x)
 |             / 2           \                                                                  
 |     (x + 1)*\x  + 8*x + 15/                                                                  
 |                                                                                              
/                                                                                               

$$-3\,\log \left(x+5\right)+3\,\log \left(x+3\right)+3\,\log \left(x+ 1\right)+{{2\,x^2-2\,x}\over{2}}$$

Упростить