Интеграл (2*x^4+17*x^3+40*x^2+37*x ... +36)/((x+1)*(x^2+8*x+15)) (dx)

Вы ввели

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |     4       3       2               
 |  2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36   
 |  -------------------------------- dx
 |              / 2           \        
 |      (x + 1)*\x  + 8*x + 15/        
 |                                     
/                                      
0                                      

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 5} + \frac{3}{x + 3} + \frac{3}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{3}{x + 5}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

         1. пусть $u = x + 5$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 5 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left(x + 5 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x + 3 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = \frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 5} + \frac{3}{x + 3} + \frac{3}{x + 1}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{3}{x + 5}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 5}\, dx$

         1. пусть $u = x + 5$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 5 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left(x + 5 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. пусть $u = x + 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x + 3 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)} = \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{17 x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{40 x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{37 x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} + \frac{36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 2 \int \frac{x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{4}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = x - 9 + \frac{625}{8 \left(x + 5\right)} - \frac{81}{4 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(-9\right)\, dx = - 9 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{625}{8 \left(x + 5\right)}\, dx = \frac{625 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 5 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{625 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{81}{4 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{81 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 9 x + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} + \frac{625 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2} - 18 x + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{2} + \frac{625 \log{\left(x + 5 \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{17 x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 17 \int \frac{x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{3}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = 1 - \frac{125}{8 \left(x + 5\right)} + \frac{27}{4 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{125}{8 \left(x + 5\right)}\right)\, dx = - \frac{125 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 5 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{125 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{27}{4 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{27 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{27 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$

            Результат есть: $x - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{27 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{125 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $17 x - \frac{17 \log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{459 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{2125 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{40 x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 40 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = \frac{25}{8 \left(x + 5\right)} - \frac{9}{4 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{25}{8 \left(x + 5\right)}\, dx = \frac{25 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 5 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{25 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{9}{4 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{9 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$

            Результат есть: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{9 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} + \frac{25 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left(x + 1 \right)} - 90 \log{\left(x + 3 \right)} + 125 \log{\left(x + 5 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{37 x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 37 \int \frac{x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = - \frac{5}{8 \left(x + 5\right)} + \frac{3}{4 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{5}{8 \left(x + 5\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 5 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{4 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$

            Результат есть: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{5 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{37 \log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{111 \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{185 \log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{36}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx = 36 \int \frac{1}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} + 9 x^{2} + 23 x + 15} = \frac{1}{8 \left(x + 5\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 \left(x + 5\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 5}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 5$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 5 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{4}$

               1. пусть $u = x + 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$

            Результат есть: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 5 \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{9 \log{\left(x + 1 \right)}}{2} - 9 \log{\left(x + 3 \right)} + \frac{9 \log{\left(x + 5 \right)}}{2}$

      Результат есть: $x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-3*log(3) - 3*log(6) + 3*log(5) + 3*log(8)

$$- 3 \log{\left(6 \right)} - 3 \log{\left(3 \right)} + 3 \log{\left(5 \right)} + 3 \log{\left(8 \right)}$$

=

=

-3*log(3) - 3*log(6) + 3*log(5) + 3*log(8)

$$- 3 \log{\left(6 \right)} - 3 \log{\left(3 \right)} + 3 \log{\left(5 \right)} + 3 \log{\left(8 \right)}$$

Численный ответ

2.39552308865331

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                             
 |                                                                                              
 |    4       3       2                                                                         
 | 2*x  + 17*x  + 40*x  + 37*x + 36           2                                                 
 | -------------------------------- dx = C + x  - x - 3*log(5 + x) + 3*log(1 + x) + 3*log(3 + x)
 |             / 2           \                                                                  
 |     (x + 1)*\x  + 8*x + 15/                                                                  
 |                                                                                              
/                                                                                               

$$\int \frac{2 x^{4} + 17 x^{3} + 40 x^{2} + 37 x + 36}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}\, dx = C + x^{2} - x + 3 \log{\left(x + 1 \right)} + 3 \log{\left(x + 3 \right)} - 3 \log{\left(x + 5 \right)}$$

График