Интеграл 1/sin(4*x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1            
      /            
     |             
     |     1       
     |  -------- dx
     |  sin(4*x)   
     |             
    /              
    0              
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (4 x \right )}}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /           
     |            
     |    1       
     | -------- dx
     | sin(4*x)   
     |            
    /             
    Подинтегральная функция
       1    
    --------
    sin(4*x)
    Домножим числитель и знаменатель на
    sin(4*x)
    получим
       1        sin(4*x)
    -------- = ---------
    sin(4*x)      2     
               sin (4*x)
    Т.к.
    sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
    то
       2               2     
    sin (4*x) = 1 - cos (4*x)
    преобразуем знаменатель
     sin(4*x)      sin(4*x)  
    --------- = -------------
       2               2     
    sin (4*x)   1 - cos (4*x)
    сделаем замену
    u = cos(4*x)
    тогда интеграл
      /                  
     |                   
     |    sin(4*x)       
     | ------------- dx  
     |        2         =
     | 1 - cos (4*x)     
     |                   
    /                    
      
      /                  
     |                   
     |    sin(4*x)       
     | ------------- dx  
     |        2         =
     | 1 - cos (4*x)     
     |                   
    /                    
      
    Т.к. du = -4*dx*sin(4*x)
      /             
     |              
     |    -1        
     | ---------- du
     |   /     2\   
     | 4*\1 - u /   
     |              
    /               
    Перепишем подинтегральную функцию
                  /  1       1  \ 
                 -|----- + -----| 
       -1         \1 - u   1 + u/ 
    ---------- = -----------------
      /     2\           8        
    4*\1 - u /                    
    тогда
                           /             /          
                          |             |           
                          |   1         |   1       
                          | ----- du    | ----- du  
      /                   | 1 + u       | 1 - u     
     |                    |             |           
     |    -1             /             /           =
     | ---------- du = - ----------- - -----------  
     |   /     2\             8             8       
     | 4*\1 - u /                                   
     |                                              
    /                                               
      
    = -log(1 + u)/8 + log(-1 + u)/8
    делаем обратную замену
    u = cos(4*x)
    Ответ
      /                                                           
     |                                                            
     |    1            log(1 + cos(4*x))   log(-1 + cos(4*x))     
     | -------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0
     | sin(4*x)                8                   8              
     |                                                            
    /                                                             
    где C0 - это постоянная, не зависящая от x
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                        
      /                        
     |                         
     |     1               pi*I
     |  -------- dx = oo + ----
     |  sin(4*x)            8  
     |                         
    /                          
    0                          
    $${\it \%a}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    10.3449662462077
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                        
     |                                                         
     |    1              log(1 + cos(4*x))   log(-1 + cos(4*x))
     | -------- dx = C - ----------------- + ------------------
     | sin(4*x)                  8                   8         
     |                                                         
    /                                                          
    $${{{{\log \left(\cos \left(4\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos \left(4\,x\right)+1\right)}\over{2}}}\over{4}}$$