Интеграл (2*x+1)*log(x) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                    
  /                    
 |                     
 |  (2*x + 1)*log(x) dx
 |                     
/                      
0                      

$$\int_{0}^{1} \left(2 x + 1\right) \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(2 x + 1\right) \log{\left (x \right )} = 2 x \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x \log{\left (x \right )}\, dx = 2 \int x \log{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $x^{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{2}$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x^{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{2} + x \log{\left (x \right )} - x$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x}{2} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 2 \log{\left (x \right )} - 2\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 2 \log{\left (x \right )} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 2 \log{\left (x \right )} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                           
  /                           
 |                            
 |  (2*x + 1)*log(x) dx = -3/2
 |                            
/                             
0                             

$$-{{3}\over{2}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

-1.5

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                               2                       
 |                               x                2       
 | (2*x + 1)*log(x) dx = C - x - -- + x*log(x) + x *log(x)
 |                               2                        
/                                                         

$$\left(x^2+x\right)\,\log x-{{x^2+2\,x}\over{2}}$$

Упростить