Интеграл (2*x+1)*log(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |  (2*x + 1)*log(x) dx
     |                     
    /                      
    0                      
    01(2x+1)log(x)dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Тогда пусть du=dxxdu = \frac{dx}{x} и подставим dudu:

        (2ue2u+ueu)du\int \left(2 u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2ue2udu=2ue2udu\int 2 u e^{2 u}\, du = 2 \int u e^{2 u}\, du

            1. Используем интегрирование по частям:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

              1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

                Метод #1

                1. пусть u=2uu = 2 u.

                  Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                  eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                    1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                      eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                    Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

                Метод #2

                1. пусть u=e2uu = e^{2 u}.

                  Тогда пусть du=2e2ududu = 2 e^{2 u} du и подставим du2\frac{du}{2}:

                  14du\int \frac{1}{4}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    12du=1du2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}

                    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                      1du=u\int 1\, du = u

                    Таким образом, результат будет: u2\frac{u}{2}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. пусть u=2uu = 2 u.

                Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Таким образом, результат будет: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Таким образом, результат будет: ue2ue2u2u e^{2 u} - \frac{e^{2 u}}{2}

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Результат есть: ue2u+ueue2u2euu e^{2 u} + u e^{u} - \frac{e^{2 u}}{2} - e^{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x2log(x)x22+xlog(x)xx^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \log{\left(x \right)} - x

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x+1)log(x)=2xlog(x)+log(x)\left(2 x + 1\right) \log{\left(x \right)} = 2 x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xlog(x)dx=2xlog(x)dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

          1. пусть u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Тогда пусть du=dxxdu = \frac{dx}{x} и подставим dudu:

            ue2udu\int u e^{2 u}\, du

            1. Используем интегрирование по частям:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

              1. пусть u=2uu = 2 u.

                Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. пусть u=2uu = 2 u.

                Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Таким образом, результат будет: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Таким образом, результат будет: x2log(x)x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: x2log(x)x22+xlog(x)xx^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \log{\left(x \right)} - x

      Метод #3

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} и пусть dv(x)=2x+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 2 x + 1.

        Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2xdx=2xdx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

              xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: x2x^{2}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          Результат есть: x2+xx^{2} + x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2+xx=x+1\frac{x^{2} + x}{x} = x + 1

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: x22+x\frac{x^{2}}{2} + x

      Метод #4

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (2x+1)log(x)=2xlog(x)+log(x)\left(2 x + 1\right) \log{\left(x \right)} = 2 x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xlog(x)dx=2xlog(x)dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

          1. пусть u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Тогда пусть du=dxxdu = \frac{dx}{x} и подставим dudu:

            ue2udu\int u e^{2 u}\, du

            1. Используем интегрирование по частям:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              пусть u(u)=uu{\left(u \right)} = u и пусть dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Чтобы найти v(u)v{\left(u \right)}:

              1. пусть u=2uu = 2 u.

                Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. пусть u=2uu = 2 u.

                Тогда пусть du=2dudu = 2 du и подставим du2\frac{du}{2}:

                eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  eu2du=eudu2\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                    eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Таким образом, результат будет: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Таким образом, результат будет: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Таким образом, результат будет: x2log(x)x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: x2log(x)x22+xlog(x)xx^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \log{\left(x \right)} - x

    2. Теперь упростить:

      x(2xlog(x)x+2log(x)2)2\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 2 \log{\left(x \right)} - 2\right)}{2}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x(2xlog(x)x+2log(x)2)2+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 2 \log{\left(x \right)} - 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x(2xlog(x)x+2log(x)2)2+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + 2 \log{\left(x \right)} - 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
    -3/2
    32- \frac{3}{2}
    =
    =
    -3/2
    32- \frac{3}{2}
    Численный ответ [src]
    -1.5
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                               2                       
     |                               x                2       
     | (2*x + 1)*log(x) dx = C - x - -- + x*log(x) + x *log(x)
     |                               2                        
    /                                                         
    (2x+1)log(x)dx=C+x2log(x)x22+xlog(x)x\int \left(2 x + 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \log{\left(x \right)} - x