Интеграл ((2*log(x)+1)^3)/x (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |                3   
 |  (2*log(x) + 1)    
 |  --------------- dx
 |         x          
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 \log{\left (x \right )} + 1$.

      Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{x}$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = \frac{1}{2} \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{8} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)^{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)^{3} = \frac{8}{x} \log^{3}{\left (x \right )} + \frac{12}{x} \log^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{8}{x} \log^{3}{\left (x \right )}\, dx = 8 \int \frac{1}{x} \log^{3}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \log{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{4} \log^{4}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log^{4}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{12}{x} \log^{2}{\left (x \right )}\, dx = 12 \int \frac{1}{x} \log^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \log{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \log^{3}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log^{3}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{6}{x} \log{\left (x \right )}\, dx = 6 \int \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \log{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $3 \log^{2}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $2 \log^{4}{\left (x \right )} + 4 \log^{3}{\left (x \right )} + 3 \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{8} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{8} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{8} \left(2 \log{\left (x \right )} + 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |                3         
 |  (2*log(x) + 1)          
 |  --------------- dx = -oo
 |         x                
 |                          
/                           
0                           

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-7220059.68223989

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |               3                        4
 | (2*log(x) + 1)           (2*log(x) + 1) 
 | --------------- dx = C + ---------------
 |        x                        8       
 |                                         
/                                          

$${{\left(2\,\log x+1\right)^4}\over{8}}$$