Интеграл x^3*e^-x^2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |        2   
 |   3  -x    
 |  x *e    dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   ErfRule(a=-1, b=0, c=0, context=exp(-x**2), symbol=x)

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{3 \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{3 \sqrt{\pi} \int x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{3 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- x^{2}}}{3 \sqrt{\pi}}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{3 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- x^{2}}}{3 \sqrt{\pi}}\right)}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(- x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(- x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(- x^{2} - 1\right) e^{- x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1    -1
- - e  
2      

$$\frac{1}{2} - e^{-1}$$

=

=

1    -1
- - e  
2      

$$\frac{1}{2} - e^{-1}$$

Численный ответ

0.132120558828558

Ответ (Неопределённый)

                             /     2                       2 \                   
                             |   -x       3           2  -x  |                   
  /                     ____ |  e        x *erf(x)   x *e    |                   
 |                  3*\/ pi *|-------- + --------- + --------|                   
 |       2                   |    ____       3           ____|     ____  3       
 |  3  -x                    \3*\/ pi                3*\/ pi /   \/ pi *x *erf(x)
 | x *e    dx = C - ------------------------------------------ + ----------------
 |                                      2                               2        
/                                                                                

$$\int x^{3} e^{- x^{2}}\, dx = C + \frac{\sqrt{\pi} x^{3} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{3 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- x^{2}}}{3 \sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

График