Интеграл (e^x)*((2^x)+(5^x))^2 (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |   x / x    x\    
 |  E *\2  + 5 /  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} e^{x} \left(2^{x} + 5^{x}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{x} \left(2^{x} + 5^{x}\right)^{2} = 2 \cdot 10^{x} e^{x} + 2^{2 x} e^{x} + 5^{2 x} e^{x}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 10^{x} e^{x}\, dx = 2 \int 10^{x} e^{x}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\frac{10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{2^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (2 \right )}}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{5^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (5 \right )}}$

   Результат есть: $\frac{2 \cdot 10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}} + \frac{2^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (2 \right )}} + \frac{5^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (5 \right )}}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{\left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right)} \left(\left(4 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + 2 \left(10 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + \left(25 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right)\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{\left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right)} \left(\left(4 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + 2 \left(10 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + \left(25 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right)\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right)} \left(\left(4 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + 2 \left(10 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + \left(25 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right)\right)+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

[pretty]

[text]

35.8642107498314

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                                
 |                                                                 
 |             2             2*x  x         2*x  x            x  x 
 |  x / x    x\             2   *e         5   *e         2*10 *e  
 | E *\2  + 5 /  dx = C + ------------ + ------------ + -----------
 |                        1 + 2*log(2)   1 + 2*log(5)   1 + log(10)
/                                                                  

$$\int e^{x} \left(2^{x} + 5^{x}\right)^{2}\, dx = \frac{2 \cdot 10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}} + \frac{2^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (2 \right )}} + \frac{5^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (5 \right )}} + C$$

Упростить