Интеграл (e^x)*((2^x)+(5^x))^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |              2   
     |   x / x    x\    
     |  E *\2  + 5 /  dx
     |                  
    /                   
    0                   
    01ex(2x+5x)2dx\int_{0}^{1} e^{x} \left(2^{x} + 5^{x}\right)^{2}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      ex(2x+5x)2=210xex+22xex+52xexe^{x} \left(2^{x} + 5^{x}\right)^{2} = 2 \cdot 10^{x} e^{x} + 2^{2 x} e^{x} + 5^{2 x} e^{x}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        210xexdx=210xexdx\int 2 \cdot 10^{x} e^{x}\, dx = 2 \int 10^{x} e^{x}\, dx

        1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

          Но интеграл

          10xex1+log(10)\frac{10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}}

        Таким образом, результат будет: 210xex1+log(10)\frac{2 \cdot 10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}}

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

        Но интеграл

        22xex1+2log(2)\frac{2^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (2 \right )}}

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

        Но интеграл

        52xex1+2log(5)\frac{5^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (5 \right )}}

      Результат есть: 210xex1+log(10)+22xex1+2log(2)+52xex1+2log(5)\frac{2 \cdot 10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}} + \frac{2^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (2 \right )}} + \frac{5^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (5 \right )}}

    3. Теперь упростить:

      1(1+log(4))(1+log(10))(1+log(25))((4e)x(1+log(10))(1+log(25))+2(10e)x(1+log(4))(1+log(25))+(25e)x(1+log(4))(1+log(10)))\frac{1}{\left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right)} \left(\left(4 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + 2 \left(10 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + \left(25 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right)\right)

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      1(1+log(4))(1+log(10))(1+log(25))((4e)x(1+log(10))(1+log(25))+2(10e)x(1+log(4))(1+log(25))+(25e)x(1+log(4))(1+log(10)))+constant\frac{1}{\left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right)} \left(\left(4 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + 2 \left(10 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + \left(25 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right)\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    1(1+log(4))(1+log(10))(1+log(25))((4e)x(1+log(10))(1+log(25))+2(10e)x(1+log(4))(1+log(25))+(25e)x(1+log(4))(1+log(10)))+constant\frac{1}{\left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right)} \left(\left(4 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + 2 \left(10 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (25 \right )}\right) + \left(25 e\right)^{x} \left(1 + \log{\left (4 \right )}\right) \left(1 + \log{\left (10 \right )}\right)\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-101002500000000000000000
    Численный ответ [src]
    35.8642107498314
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                
     |                                                                 
     |             2             2*x  x         2*x  x            x  x 
     |  x / x    x\             2   *e         5   *e         2*10 *e  
     | E *\2  + 5 /  dx = C + ------------ + ------------ + -----------
     |                        1 + 2*log(2)   1 + 2*log(5)   1 + log(10)
    /                                                                  
    ex(2x+5x)2dx=210xex1+log(10)+22xex1+2log(2)+52xex1+2log(5)+C\int e^{x} \left(2^{x} + 5^{x}\right)^{2}\, dx = \frac{2 \cdot 10^{x} e^{x}}{1 + \log{\left (10 \right )}} + \frac{2^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (2 \right )}} + \frac{5^{2 x} e^{x}}{1 + 2 \log{\left (5 \right )}} + C