Интеграл sin(5*x)*sin(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |  sin(5*x)*sin(x) dx
     |                    
    /                     
    0                     
    01sin(x)sin(5x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      sin(x)sin(5x)=16sin6(x)20sin4(x)+5sin2(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} = 16 \sin^{6}{\left(x \right)} - 20 \sin^{4}{\left(x \right)} + 5 \sin^{2}{\left(x \right)}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        16sin6(x)dx=16sin6(x)dx\int 16 \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          sin6(x)=(12cos(2x)2)3\sin^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3}

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            (12cos(2x)2)3=cos3(2x)8+3cos2(2x)83cos(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (cos3(2x)8)dx=cos3(2x)dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                cos3(2x)=(1sin2(2x))cos(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

              2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

                Метод #1

                1. пусть u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                  Тогда пусть du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим dudu:

                  (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

                  1. Интегрируем почленно:

                    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                      12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                      (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                      1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                        u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                      Таким образом, результат будет: u36- \frac{u^{3}}{6}

                    Результат есть: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                Метод #2

                1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  (1sin2(2x))cos(2x)=sin2(2x)cos(2x)+cos(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

                2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    (sin2(2x)cos(2x))dx=sin2(2x)cos(2x)dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

                    1. пусть u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                      Тогда пусть du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                      u24du\int \frac{u^{2}}{4}\, du

                      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        u22du=u2du2\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                          u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                        Таким образом, результат будет: u36\frac{u^{3}}{6}

                      Если сейчас заменить uu ещё в:

                      sin3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                    Таким образом, результат будет: sin3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                  1. пусть u=2xu = 2 x.

                    Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                    cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                      cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Если сейчас заменить uu ещё в:

                    sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                  Результат есть: sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                Метод #3

                1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  (1sin2(2x))cos(2x)=sin2(2x)cos(2x)+cos(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

                2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    (sin2(2x)cos(2x))dx=sin2(2x)cos(2x)dx\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

                    1. пусть u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                      Тогда пусть du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                      u24du\int \frac{u^{2}}{4}\, du

                      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        u22du=u2du2\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                          u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                        Таким образом, результат будет: u36\frac{u^{3}}{6}

                      Если сейчас заменить uu ещё в:

                      sin3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                    Таким образом, результат будет: sin3(2x)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

                  1. пусть u=2xu = 2 x.

                    Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                    cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                      cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Если сейчас заменить uu ещё в:

                    sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

                  Результат есть: sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Таким образом, результат будет: sin3(2x)48sin(2x)16\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              3cos2(2x)8dx=3cos2(2x)dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                  1. пусть u=4xu = 4 x.

                    Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

                    cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

                    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                      cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                      1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                    Если сейчас заменить uu ещё в:

                    sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                  Таким образом, результат будет: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                Результат есть: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              Таким образом, результат будет: 3x16+3sin(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (3cos(2x)8)dx=3cos(2x)dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

              1. пусть u=2xu = 2 x.

                Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Таким образом, результат будет: 3sin(2x)16- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

            Результат есть: 5x16+sin3(2x)48sin(2x)4+3sin(4x)64\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            (12cos(2x)2)3=cos3(2x)8+3cos2(2x)83cos(2x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (cos3(2x)8)dx=cos3(2x)dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                cos3(2x)=(1sin2(2x))cos(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

              2. пусть u=sin(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Тогда пусть du=2cos(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx и подставим dudu:

                (12u22)du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

                1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                    12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    (u22)du=u2du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                    1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                      u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                    Таким образом, результат будет: u36- \frac{u^{3}}{6}

                  Результат есть: u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin3(2x)6+sin(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Таким образом, результат будет: sin3(2x)48sin(2x)16\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              3cos2(2x)8dx=3cos2(2x)dx8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                  1. пусть u=4xu = 4 x.

                    Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

                    cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

                    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                      cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                      1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                    Если сейчас заменить uu ещё в:

                    sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                  Таким образом, результат будет: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

                Результат есть: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              Таким образом, результат будет: 3x16+3sin(4x)64\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (3cos(2x)8)dx=3cos(2x)dx8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}

              1. пусть u=2xu = 2 x.

                Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

                cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Таким образом, результат будет: 3sin(2x)16- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              18dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

            Результат есть: 5x16+sin3(2x)48sin(2x)4+3sin(4x)64\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}

        Таким образом, результат будет: 5x+sin3(2x)34sin(2x)+3sin(4x)45 x + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (20sin4(x))dx=20sin4(x)dx\int \left(- 20 \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          sin4(x)=(12cos(2x)2)2\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

          (12cos(2x)2)2=cos2(2x)4cos(2x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos2(2x)4dx=cos2(2x)dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              cos2(2x)=cos(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(4x)2dx=cos(4x)dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

                1. пусть u=4xu = 4 x.

                  Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

                  cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                      cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

                  Если сейчас заменить uu ещё в:

                  sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

                Таким образом, результат будет: sin(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              Результат есть: x2+sin(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

            Таким образом, результат будет: x8+sin(4x)32\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. пусть u=2xu = 2 x.

              Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Таким образом, результат будет: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          Результат есть: 3x8sin(2x)4+sin(4x)32\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Таким образом, результат будет: 15x2+5sin(2x)5sin(4x)8- \frac{15 x}{2} + 5 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        5sin2(x)dx=5sin2(x)dx\int 5 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          sin2(x)=12cos(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. пусть u=2xu = 2 x.

              Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Таким образом, результат будет: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Результат есть: x2sin(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Таким образом, результат будет: 5x25sin(2x)4\frac{5 x}{2} - \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Результат есть: sin3(2x)3sin(2x)4+sin(4x)8\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

    3. Теперь упростить:

      sin(4x)8sin(6x)12\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      sin(4x)8sin(6x)12+constant\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    sin(4x)8sin(6x)12+constant\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
    Ответ [src]
      5*cos(5)*sin(1)   cos(1)*sin(5)
    - --------------- + -------------
             24               24     
    5sin(1)cos(5)24+sin(5)cos(1)24- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24}
    =
    =
      5*cos(5)*sin(1)   cos(1)*sin(5)
    - --------------- + -------------
             24               24     
    5sin(1)cos(5)24+sin(5)cos(1)24- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24}
    Численный ответ [src]
    -0.0713156870635805
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       3                
     |                          sin(2*x)   sin (2*x)   sin(4*x)
     | sin(5*x)*sin(x) dx = C - -------- + --------- + --------
     |                             4           3          8    
    /                                                          
    sin(x)sin(5x)dx=C+sin3(2x)3sin(2x)4+sin(4x)8\int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}
    График
    Интеграл sin(5*x)*sin(x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/f/46/afc5b890880c24ad5eb083bfb94fd.png