Интеграл sin(5*x)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |  sin(5*x)*sin(x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} = 16 \sin^{6}{\left(x \right)} - 20 \sin^{4}{\left(x \right)} + 5 \sin^{2}{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 16 \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

               2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

                  Метод #1

                  1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                     Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

                     $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                     1. Интегрируем почленно:

                        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

                        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Метод #2

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

                        1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                           Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                              1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                        Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                     1. пусть $u = 2 x$.

                        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Метод #3

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

                        1. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                           Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                              1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                        Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}$

                     1. пусть $u = 2 x$.

                        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. пусть $u = 4 x$.

                        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

            Результат есть: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

               2. пусть $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                  1. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

                     Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. пусть $u = 4 x$.

                        Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

            Результат есть: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

      Таким образом, результат будет: $5 x + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 20 \sin^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{15 x}{2} + 5 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{2} - \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Результат есть: $\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  5*cos(5)*sin(1)   cos(1)*sin(5)
- --------------- + -------------
         24               24     

$$- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24}$$

=

=

  5*cos(5)*sin(1)   cos(1)*sin(5)
- --------------- + -------------
         24               24     

$$- \frac{5 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24}$$

Численный ответ

-0.0713156870635805

Ответ (Неопределённый)

  /                                       3                
 |                          sin(2*x)   sin (2*x)   sin(4*x)
 | sin(5*x)*sin(x) dx = C - -------- + --------- + --------
 |                             4           3          8    
/                                                          

$$\int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$$

График