Интеграл dx/sqrt(3*x-1) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |       1        
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 3*x - 1    
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{3 x - 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x - 1}}$ и подставим $\frac{2 du}{3}$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1\, du = \frac{2}{3} \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 u}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt{3 x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}$

   2. пусть $u = 3 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{u}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                               ___
 |       1             2*I   2*\/ 2 
 |  ----------- dx = - --- + -------
 |    _________         3       3   
 |  \/ 3*x - 1                      
 |                                  
/                                   
0                                   

$${{2^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}-{{2\,i}\over{3}}$$

Численный ответ

(1.51280204310656 - 0.578362416744166j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                          _________
 |      1               2*\/ 3*x - 1 
 | ----------- dx = C + -------------
 |   _________                3      
 | \/ 3*x - 1                        
 |                                   
/                                    

$${{2\,\sqrt{3\,x-1}}\over{3}}$$

Упростить