Интеграл (cos(3*x))/(4+sin(3*x)) (dx)

  1                
  /                
 |                 
 |    cos(3*x)     
 |  ------------ dx
 |  4 + sin(3*x)   
 |                 
/                  
0                  

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{3 \sin{\left (u \right )} + 12}\, du$

      1. пусть $u = 3 \sin{\left (u \right )} + 12$.

         Тогда пусть $du = 3 \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 \sin{\left (u \right )} + 12 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \log{\left (3 \sin{\left (3 x \right )} + 12 \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \sin{\left (3 x \right )} + 4$.

      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left (3 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x \right )} + 4 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \log{\left (3 \sin{\left (3 x \right )} + 12 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{3} \log{\left (3 \sin{\left (3 x \right )} + 12 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                             
  /                                             
 |                                              
 |    cos(3*x)          log(4)   log(4 + sin(3))
 |  ------------ dx = - ------ + ---------------
 |  4 + sin(3*x)          3             3       
 |                                              
/                                               
0                                               

0.0115573078258596

  /                                          
 |                                           
 |   cos(3*x)            log(12 + 3*sin(3*x))
 | ------------ dx = C + --------------------
 | 4 + sin(3*x)                   3          
 |                                           
/