Интеграл (cos(3*x))/(4+sin(3*x)) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |    cos(3*x)     
 |  ------------ dx
 |  4 + sin(3*x)   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)} + 4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \sin{\left(u \right)} + 12}\, du$

      1. пусть $u = 3 \sin{\left(u \right)} + 12$.

         Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(u \right)} du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(3 \sin{\left(u \right)} + 12 \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)} + 4$.

      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{9 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} + 4 \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  log(4)   log(4 + sin(3))
- ------ + ---------------
    3             3       

$$- \frac{\log{\left(4 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 \right)} + 4 \right)}}{3}$$

=

=

  log(4)   log(4 + sin(3))
- ------ + ---------------
    3             3       

$$- \frac{\log{\left(4 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 \right)} + 4 \right)}}{3}$$

Численный ответ

0.0115573078258596

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                           
 |   cos(3*x)            log(12 + 3*sin(3*x))
 | ------------ dx = C + --------------------
 | 4 + sin(3*x)                   3          
 |                                           
/                                            

$$\int \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)} + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}$$

График