Интеграл (cos(3*x))/(4+sin(3*x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |    cos(3*x)     
     |  ------------ dx
     |  4 + sin(3*x)   
     |                 
    /                  
    0                  
    01cos(3x)sin(3x)+4dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)} + 4}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=3xu = 3 x.

        Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим dudu:

        cos(u)3sin(u)+12du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3 \sin{\left(u \right)} + 12}\, du

        1. пусть u=3sin(u)+12u = 3 \sin{\left(u \right)} + 12.

          Тогда пусть du=3cos(u)dudu = 3 \cos{\left(u \right)} du и подставим du3\frac{du}{3}:

          19udu\int \frac{1}{9 u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            13udu=1udu3\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Таким образом, результат будет: log(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(3sin(u)+12)3\frac{\log{\left(3 \sin{\left(u \right)} + 12 \right)}}{3}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(3sin(3x)+12)3\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}

      Метод #2

      1. пусть u=sin(3x)+4u = \sin{\left(3 x \right)} + 4.

        Тогда пусть du=3cos(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx и подставим du3\frac{du}{3}:

        19udu\int \frac{1}{9 u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          13udu=1udu3\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

          Таким образом, результат будет: log(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(sin(3x)+4)3\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} + 4 \right)}}{3}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(3sin(3x)+12)3+constant\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(3sin(3x)+12)3+constant\frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
    Ответ [src]
      log(4)   log(4 + sin(3))
    - ------ + ---------------
        3             3       
    log(4)3+log(sin(3)+4)3- \frac{\log{\left(4 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 \right)} + 4 \right)}}{3}
    =
    =
      log(4)   log(4 + sin(3))
    - ------ + ---------------
        3             3       
    log(4)3+log(sin(3)+4)3- \frac{\log{\left(4 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 \right)} + 4 \right)}}{3}
    Численный ответ [src]
    0.0115573078258596
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                          
     |                                           
     |   cos(3*x)            log(12 + 3*sin(3*x))
     | ------------ dx = C + --------------------
     | 4 + sin(3*x)                   3          
     |                                           
    /                                            
    cos(3x)sin(3x)+4dx=C+log(3sin(3x)+12)3\int \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)} + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 12 \right)}}{3}
    График
    Интеграл (cos(3*x))/(4+sin(3*x)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/e/a5/4a4d29d29437466b9a8eb84660161.png