Интеграл (x^3)/(x^2-4) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1          
  /          
 |           
 |     3     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 4   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = x + \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x + 2 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x - 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     3                                 
 |    x                                  
 |  ------ dx = 1/2 - 2*log(4) + 2*log(3)
 |   2                                   
 |  x  - 4                               
 |                                       
/                                        
0                                        

$$-2\,\log 4+2\,\log 3+{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

-0.0753641449035619

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                 
 |                                                  
 |    3             2                               
 |   x             x                                
 | ------ dx = C + -- + 2*log(-2 + x) + 2*log(2 + x)
 |  2              2                                
 | x  - 4                                           
 |                                                  
/                                                   

$$2\,\log \left(x^2-4\right)+{{x^2}\over{2}}$$

Упростить