Интеграл (x^3)/(x^2-4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |     3     
     |    x      
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  - 4   
     |           
    /            
    0            
    01x3x24dx\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      x3x24=x+2x+2+2x2\frac{x^{3}}{x^{2} - 4} = x + \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2x+2dx=21x+2dx\int \frac{2}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. пусть u=x+2u = x + 2.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

        Таким образом, результат будет: 2log(x+2)2 \log{\left (x + 2 \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2x2dx=21x2dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. пусть u=x2u = x - 2.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

        Таким образом, результат будет: 2log(x2)2 \log{\left (x - 2 \right )}

      Результат есть: x22+2log(x2)+2log(x+2)\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x22+2log(x2)+2log(x+2)+constant\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x22+2log(x2)+2log(x+2)+constant\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100100
    Ответ [src]
      1                                      
      /                                      
     |                                       
     |     3                                 
     |    x                                  
     |  ------ dx = 1/2 - 2*log(4) + 2*log(3)
     |   2                                   
     |  x  - 4                               
     |                                       
    /                                        
    0                                        
    2log4+2log3+12-2\,\log 4+2\,\log 3+{{1}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    -0.0753641449035619
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                 
     |                                                  
     |    3             2                               
     |   x             x                                
     | ------ dx = C + -- + 2*log(-2 + x) + 2*log(2 + x)
     |  2              2                                
     | x  - 4                                           
     |                                                  
    /                                                   
    2log(x24)+x222\,\log \left(x^2-4\right)+{{x^2}\over{2}}