Интеграл x/((x^2+4)^(1/2)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |       x        
     |  ----------- dx
     |     ________   
     |    /  2        
     |  \/  x  + 4    
     |                
    /                 
    0                 
    01xx2+4dx\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x2+4u = \sqrt{x^{2} + 4}.

        Тогда пусть du=xdxx2+4du = \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + 4}} и подставим dudu:

        1du\int 1\, du

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1du=u\int 1\, du = u

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x2+4\sqrt{x^{2} + 4}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx2+4=xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}

      2. пусть u=x2+4u = x^{2} + 4.

        Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        1udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1udu=121udu\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Таким образом, результат будет: u\sqrt{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x2+4\sqrt{x^{2} + 4}

    2. Теперь упростить:

      x2+4\sqrt{x^{2} + 4}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2+4+constant\sqrt{x^{2} + 4}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2+4+constant\sqrt{x^{2} + 4}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-101020-10
    Ответ [src]
      1                            
      /                            
     |                             
     |       x                  ___
     |  ----------- dx = -2 + \/ 5 
     |     ________                
     |    /  2                     
     |  \/  x  + 4                 
     |                             
    /                              
    0                              
    52\sqrt{5}-2
    Численный ответ [src]
    0.23606797749979
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                         ________
     |      x                 /  2     
     | ----------- dx = C + \/  x  + 4 
     |    ________                     
     |   /  2                          
     | \/  x  + 4                      
     |                                 
    /                                  
    x2+4\sqrt{x^2+4}